Question :

Déterminer lequel des deux profilés métalliques est le plus approprié pour la construction de la poutre, en prenant en compte la résistance et la contrainte maximale supportable.

Correction : choix de Profilés Métalliques

1. Calcul du moment fléchissant maximum

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximum est donné par

\[ M_{\max}=\frac{q\,L^2}{8}\,. \]

Données :

• \( q=150\;kN/m = 150\,000\;N/m \)
• \( L=8\;m \)

Calcul :

\[ M_{\max} =\frac{150\,000\;N/m\times (8\,m)^2}{8} \] \[ M_{\max} =\frac{150\,000\times 64}{8} \] \[ M_{\max} =150\,000\times8 \] \[ M_{\max} =1\,200\,000\;N\cdot m\,. \]

Pour utiliser des unités cohérentes avec celles de la section (en mm), on convertit en \(N\cdot mm\) :

\[ 1\,200\,000\;N\cdot m\times 1\,000\;mm/m=1.2\times10^9\;N\cdot mm\,. \]

2. Calcul du module de section requis

La contrainte maximale en flexion est liée au moment fléchissant et au module de section \(S\) par

\[ \sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}\,. \]

Pour que la contrainte ne dépasse pas la limite élastique \(\sigma_y=250\;MPa=250\;N/mm^2\), il faudrait théoriquement que

\[ S_{\text{req}} = \frac{M_{\max}}{\sigma_y} \] \[ S_{\text{req}} = \frac{1.2\times10^9\;N\cdot mm}{250\;N/mm^2} \] \[ S_{\text{req}} = 4.8\times10^6\;mm^3\,. \]

Ce module de section requis est très élevé. Nous allons maintenant estimer, à partir de la géométrie, le \(S\) offert par chacun des profilés.

3. Calcul du module de section offert par chaque profilé

Pour chaque section, nous commencerons par déterminer le moment d’inertie \(I\) par rapport à l’axe neutre (horizontal, dans la direction de la flexion) et nous utiliserons la relation

\[ S=\frac{I}{y_{\max}} \]

avec \(y_{\max}=\frac{h}{2}\) (la distance entre l’axe neutre et le bord extrême).

3.1. Pour le profilé IPE 300

Données géométriques :

• Hauteur globale : \( h=300\;mm \)
• Largeur de l’aile : \( b=150\;mm \)
• Épaisseur de l’âme : \( t_w=7.1\;mm \)
• Épaisseur de l’aile : \( t_f=10.7\;mm \)

On décompose la section en 3 rectangles :

Les 2 ailes (flanges) :

• Aire d’une aile :

\[ A_f = b\times t_f \] \[ A_f  = 150\times10.7 \] \[ A_f =1\,605\;mm^2\,. \]

• Inertie de la partie rectangulaire (axe passant par son centre) :

\[ I_{f,cent}=\frac{b\,t_f^3}{12}=\frac{150\times(10.7)^3}{12}\,. \] \[ I_{f,cent}\approx\frac{150\times1\,225}{12}\] \[ I_{f,cent}\approx15\,313\;mm^4\,.
\]

• Distance entre le centre de l’aile et l’axe neutre de la section :

La moitié de l’épaisseur de l’aile est \(t_f/2=10.7/2=5.35\;mm\).

L’axe neutre se trouvant au milieu de \(h=300\;mm\), la distance est

\[ d=150-5.35=144.65\;mm\,. \]

• Application du théorème des axes parallèles :

La contribution de l’aile complète est donc

\[ I_f=I_{f,cent}+A_f\,d^2\approx15\,313+1\,605\times(144.65)^2\,. \]

Calculons \((144.65)^2\) (approximativement) :

\[ (144.65)^2\approx20\,936\;mm^2\,. \]

Alors, le terme de déport est

\[ 1\,605\times20\,936\approx33.6\times10^6\;mm^4\,. \]

Ainsi, pour une aile :

\[ I_f\approx33.6\times10^6\;mm^4\,. \]

Pour les deux ailes :

\[ I_{\text{ailes}} =2\times33.6\times10^6 \] \[ I_{\text{ailes}} =67.2\times10^6\;mm^4\,. \]

Le corps (âme) :

Hauteur utile de l’âme :

\[ h_{\text{web}}=h-2\,t_f=300-2\times10.7=300-21.4=278.6\;mm\,. \]

Inertie du rectangle représentant l’âme (son centre coïncide avec l’axe neutre) :

\[ I_{\text{web}}=\frac{t_w\,(h-2\,t_f)^3}{12}=\frac{7.1\times(278.6)^3}{12}\,. \]

On estime
\((278.6)^3\approx21.66\times10^6\;mm^3\).

Alors

\[ I_{\text{web}}\approx\frac{7.1\times21.66\times10^6}{12}\] \[ I_{\text{web}}\approx12.82\times10^6\;mm^4\,. \]

• Moment d’inertie total de l’IPE 300 :

\[ I_{\text{IPE300}}=I_{\text{ailes}}+I_{\text{web}}\] \[ I_{\text{IPE300}}\approx67.2\times10^6+12.82\times10^6\] \[ I_{\text{IPE300}}=80.02\times10^6\;mm^4\,.
\]

Module de section de l’IPE 300 :

La distance \[y_{\max}=\frac{h}{2}=\frac{300}{2}=150\;mm\]

Ainsi,

\[
S_{\text{IPE300}}=\frac{I_{\text{IPE300}}}{150}\] \[
S_{\text{IPE300}}\approx\frac{80.02\times10^6}{150}\]\[
S_{\text{IPE300}}\approx533\,400\;mm^3\,.
\]

3.2. Pour le profilé HEA 300

Données géométriques :

• Hauteur globale : \( h=300\;mm \)
• Largeur de l’aile : \( b=300\;mm \)
• Épaisseur de l’aile : \( t_f=18\;mm \)
• Épaisseur de l’âme : \( t_w=11.5\;mm \)

Calcul pour les ailes :

• Aire d’une aile :

\[A_f=b\times t_f\]\[A_f=300\times18\]\[A_f=5\,400\;mm^2\,.\]

• Inertie de l’aile (centre de son rectangle) :

\[I_{f,cent}=\frac{b\,t_f^3}{12}=\frac{300\times18^3}{12}\,.\]

Comme \(18^3=5\,832\), on a

\[I_{f,cent}=\frac{300\times5\,832}{12}\]\[I_{f,cent}\approx145\,800\;mm^4\,.\]

• Distance entre le centre de l’aile et l’axe neutre :

L’axe de l’aile est à \(t_f/2=9\;mm\) du bord, d’où

\[ d = 150-9 = 141\;mm\,. \]

• Application du théorème des axes parallèles :

\[ I_f=I_{f,cent}+A_f\,d^2\,.\]

Calculons \(d^2=141^2\approx19\,881\;mm^2\).
Le terme de déport est alors

\[
5\,400\times19\,881\approx107.43\times10^6\;mm^4\,.
\]

Ainsi, pour une aile :

\[
I_f\approx145\,800+107.43\times10^6\]\[
I_f\approx107.57\times10^6\;mm^4\,.
\]

Pour les deux ailes :

\[
I_{\text{ailes}}=2\times107.57\times10^6\]\[
I_{\text{ailes}}\approx215.14\times10^6\;mm^4\,.
\]

Calcul pour l’âme :

• Hauteur de l’âme :

\[ h_{\text{web}}=h-2\,t_f\]\[ h_{\text{web}}=300-2\times18\]\[ h_{\text{web}}=300-36=264\;mm\,. \]

• Inertie de l’âme :

\[
I_{\text{web}}=\frac{t_w\,(264)^3}{12}\,.
\]

On estime \((264)^3\approx18.40\times10^6\;mm^3\).
Alors

\[
I_{\text{web}}\approx\frac{11.5\times18.40\times10^6}{12}\]\[
I_{\text{web}}\approx17.63\times10^6\;mm^4\,.
\]

Moment d’inertie total du HEA 300 :

\[
I_{\text{HEA300}}=I_{\text{ailes}}+I_{\text{web}}\]\[
I_{\text{HEA300}}\approx215.14\times10^6+17.63\times10^6\]\[
I_{\text{HEA300}}\approx232.77\times10^6\;mm^4\,.
\]

Module de section du HEA 300 :

\[
S_{\text{HEA300}}=\frac{I_{\text{HEA300}}}{150}\]\[
S_{\text{HEA300}}\approx\frac{232.77\times10^6}{150}\approx1\,551\,860\;mm^3\,.
\]

4. Calcul de la contrainte maximale en flexion pour chaque profilé

On utilise la formule

\[
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}\,.
\]

Pour l’IPE 300 :

\[
\sigma_{\max}^{\text{IPE}}=\frac{1.2\times10^9\;N\cdot mm}{533\,400\;mm^3}\approx2\,250\;N/mm^2\,.
\]

Pour le HEA 300 :

\[
\sigma_{\max}^{\text{HEA}}=\frac{1.2\times10^9}{1\,551\,860}\approx773\;N/mm^2\,.
\]

5. Comparaison avec la limite élastique et discussion

La limite élastique de l’acier est \(\sigma_y=250\;N/mm^2\).

Pour l’IPE~300, on trouve \(\sigma_{\max}\approx2\,250\;N/mm^2\), soit environ 9 fois la limite.

Pour le HEA~300, \(\sigma_{\max}\approx773\;N/mm^2\), soit environ 3 fois la limite.

Conclusion sur la résistance :

• Aucune des deux sections ne permet, en l’état, de contenir la contrainte maximale imposée par la charge considérée.
• Toutefois, entre les deux, le profilé HEA 300 est nettement « meilleur » car il induit une contrainte de flexion moindre (773 MPa contre 2250 MPa).

Si l’on devait choisir entre ces deux profilés pour une poutre de 8 m supportant une charge uniformément répartie de 150 kN/m, le profilé HEA 300 est à privilégier car il permet une contrainte maximale en flexion environ trois fois inférieure à celle de l’IPE 300 (773 MPa contre 2250 MPa).
Cependant, on constate que, même avec le HEA 300, la contrainte calculée (773 MPa) est largement supérieure à la limite élastique de l’acier (250 MPa). Dans une situation réelle, il faudrait soit réduire la charge, soit augmenter considérablement les dimensions de la section, ou envisager d’autres solutions (par exemple, une poutre continue ou en composite) pour respecter les conditions de résistance.

Choix de Profilés Métalliques

D’autres exercices de structure métallique:

• Charges Appliquées et Résistance
• Calcul des Connexions Métalliques
• Calcul du flambement