Calcul d’une poutre de redressement
Comprendre le calcul d’une poutre de redressement
Un bureau d’ingénierie est chargé de concevoir une poutre de redressement en béton armé pour soutenir une dalle de plancher dans un bâtiment résidentiel.
La poutre doit être conçue pour résister aux charges permanentes (propres) et variables (surcharge d’exploitation) selon les spécifications des Eurocodes. Le bâtiment est situé dans une région avec une activité sismique modérée.
Pour comprendre le calcul des Charges permanentes et d’exploitation et le Dimensionnement d’une Longrine, cliquez sur les liens.
Données Fournies:
- Longueur de la poutre (L): 8 mètres.
- Largeur de la poutre (b): 300 mm.
- Hauteur de la poutre (h): 500 mm.
- Couverture en béton (c): 35 mm.
- Diamètre des barres d’armature longitudinales: 16 mm.
- Grade du béton: C25/30.
- Grade de l’acier d’armature: B500B.
- Charges permanentes (G): 25 kN/m, incluant le poids propre de la poutre.
- Charges variables (Q): 15 kN/m.
Questions:
1. Vérification de l’état limite ultime (ELU):
Déterminer les moments fléchissants maximaux (Mmax) et vérifier la résistance de la section de la poutre à ces moments. Considérer un facteur partiel de sécurité γf = 1,35 pour les charges permanentes et γf = 1,5 pour les charges variables.
2. Dimensionnement des armatures:
Calculer la surface requise des armatures longitudinales en tension (As) pour résister au moment fléchissant ultime. Déterminer également le nombre de barres nécessaires et leur disposition.
3. Vérification de l’état limite de service (ELS):
Vérifier la flèche de la poutre sous les charges quasi-permanentes pour s’assurer qu’elle ne dépasse pas la limite spécifiée par l’Eurocode 2
4. Vérification au cisaillement:
Calculer la capacité au cisaillement de la poutre (Vrd) et comparer avec le cisaillement maximal induit par les charges (Vmax), en utilisant les critères de l’Eurocode 2.
Correction : Calcul d’une poutre de redressement
1. Vérification de l’état limite ultime (ELU)
Calcul des Moments Fléchissants Maximaux (\(M_{\text{max}}\))
La combinaison de charges à utiliser pour l’ELU, selon l’Eurocode 2, est :
\[ M_{\text{max}} = \gamma_f(G) \times G \times L + \gamma_f(Q) \times Q \times L \]
où :
- \(G = 25 \, \text{kN/m}\) (charges permanentes),
- \(Q = 15 \, \text{kN/m}\) (charges variables),
- \(\gamma_f(G) = 1,35\),
- \(\gamma_f(Q) = 1,5\),
- \(L = 8 \, \text{m}\) (longueur de la poutre).
Substituons les valeurs :
\[ M_{\text{max}} = 1,35 \times 25 \times \frac{8^2}{8} + 1,5 \times 15 \times \frac{8^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 270 + 180 \] \[ M_{\text{max}} = 450 \, \text{kNm} \]
2. Dimensionnement des Armatures
La surface requise des armatures longitudinales \(A_s\) est donnée par la formule de l’Eurocode 2 :
\[ A_s = \frac{M_{\text{max}}}{0,9 \times d \times f_{yd}} \]
où :
- \(d = h – c – \text{diamètre des barres} / 2 = 500 – 35 – 16 / 2 = 452 \, \text{mm}\),
- \(f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500}{1,15} = 435 \, \text{MPa}\) (caractéristique de l’acier d’armature B500B, \(\gamma_s = 1,15\)).
Substituons les valeurs :
\[ A_s = \frac{450 \times 10^6}{0,9 \times 452 \times 10^{-3} \times 435} \] \[ A_s = 2614 \, \text{mm}^2 \]
Le nombre de barres d’armature nécessaires, en utilisant des barres de diamètre 16 mm (\(A_{s, \text{barre}} = 201 \, \text{mm}^2\)), est :
\[ N = \frac{A_s}{A_{s, \text{barre}}} \] \[ N = \frac{2614}{201} \approx 13 \]
Il est donc nécessaire d’utiliser 13 barres de diamètre 16 mm, ou on peut opter pour un diamètre plus grand pour réduire le nombre de barres.
3. Vérification de l’état limite de service (ELS)
Vérification de la Flèche
La flèche maximale admissible est \(L/250 = 8000 / 250 = 32 \, \text{mm}\).
La flèche maximale est calculée par la formule :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 40 \times 10^3 \times 8^4}{384 \times 30 \times 10^9 \times 0.0031} \] \[ \delta_{\text{max}} = 22,94 \, \text{mm} \]
Cette flèche maximale est inférieure à la limite admissible qui est de :
\[
L/250 = 32 \, \text{mm}
\]
Cela indique que la poutre satisfait aux exigences de l’état limite de service pour les déformations admissibles.
4. Vérification au Cisaillement
Calcul de la capacité au cisaillement \(V_{rd,c}\):
La capacité au cisaillement \(V_{rd,c}\) peut être calculée selon l’équation suivante :
\[ V_{rd,c} = \left[ C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{\frac{1}{3}} + k_1 \cdot \sigma_{cp} \right] \cdot b_w \cdot d \]
Avec :
- \(C_{Rd,c} = \frac{0.18}{\gamma_c} = \frac{0.18}{1.5}\), où \(\gamma_c\) est le facteur partiel de sécurité pour le béton.
- \(k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}}\), limité à 2.0, est un facteur prenant en compte l’effet de la profondeur de la section.
- \(\rho_l = \frac{A_s}{b_w \cdot d}\) est le rapport d’armature longitudinale.
\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\) est la résistance caractéristique du béton en compression. - \(b_w = 300 \, \text{mm}\) est la largeur de l’âme de la poutre.
- \(d = 452 \, \text{mm}\) est la distance utile depuis la fibre la plus comprimée jusqu’au centre de gravité des armatures tendues.
Nous obtenons :
\[ V_{rd,c} = \left( 0.12 \cdot 2.0 \cdot \left(100 \cdot 0.00577 \cdot 25\right)^{\frac{1}{3}} \right) \cdot 0.3 \cdot 0.452 \times 10^3 \] \[ V_{rd,c} = 1184,31 \, \text{kN} \]
Calcul de \(V_{max}\)
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le cisaillement maximal \(V_{max}\) se trouve aux appuis et est donné par la formule :
\[ V_{max} = \frac{q \times L}{2} \]
où :
- \(q\) est la charge totale uniformément répartie (incluant les charges permanentes \(G\) et variables \(Q\)),
- \(L\) est la longueur de la poutre.
Dans notre cas, \(q = G + Q = 25 \, \text{kN/m} + 15 \, \text{kN/m} = 40 \, \text{kN/m}\) et \(L = 8 \, \text{m}\).
Substituons ces valeurs dans l’équation pour trouver \(V_{max}\) :
\[ V_{max} = \frac{40 \times 8}{2} \] \[ V_{max} = 160 \, \text{kN} \]
Comparaison de \(V_{rd,c}\) à \(V_{max}\)
Avec \(V_{rd,c} = 1184,31 \, \text{kN}\) calculé précédemment, et \(V_{max} = 160 \, \text{kN}\), nous pouvons maintenant comparer ces valeurs pour vérifier si la capacité au cisaillement est suffisante.
Puisque \(V_{rd,c} > V_{max}\), la poutre a une capacité au cisaillement suffisante pour résister au cisaillement maximal induit par les charges sans nécessiter d’armatures de cisaillement supplémentaires.
Cette conclusion valide la conception au cisaillement de la poutre selon les critères de l’Eurocode.
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