Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Comprendre les Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

Vous travaillez avec un gaz parfait diatomique (par exemple, l’azote, \( N_2 \)) dans un récipient fermé. Les conditions initiales du gaz sont les suivantes :

• Pression initiale, \( P_1 = 1 \) atm
• Volume initial, \( V_1 = 0.5 \) m\(^3\)
• Température initiale, \( T_1 = 300 \) K

Processus :

Le gaz subit une expansion isobare (à pression constante) jusqu’à ce que son volume double.

Objectifs de l’exercice :

1. Calculez la température finale \( T_2 \) du gaz après l’expansion.
2. Déterminez le travail effectué par le gaz pendant ce processus.
3. Calculez la variation d’énergie interne (\( \Delta U \)) du gaz.
4. En déduire la quantité de chaleur échangée (\( Q \)) pendant le processus.

Données :

• Capacité calorifique à volume constant pour un gaz parfait diatomique, \( C_v = \frac{5}{2} R \), où \( R \) est la constante des gaz parfaits (8.314 J/mol·K).

Correction: Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

1. Calcul de la Température Finale \(T_2\)

Loi des gaz parfaits :

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

Avec \[V_2 = 2 \times V_1\] (expansion isobare), on a \[T_2 = T_1 \times \frac{V_2}{V_1}\]

Calcul :

\[ T_2 = 300 \, \text{K} \times \frac{2 \times 0.5 \, \text{m}^3}{0.5 \, \text{m}^3} \] \[ T_2 = 600 \, \text{K}\]

2. Calcul du Travail Effectué \(W\)

Formule du travail isobare :

\[ W = P \Delta V \]

Conversion de la pression :

\[ 1 \, \text{atm} = 101325 \, \text{Pa}\]

Calcul du volume :

\[ \Delta V = V_2 – V_1 \] \[ \Delta V = 1 \, \text{m}^3 – 0.5 \, \text{m}^3 \]

Calcul :

\[ W = 101325 \, \text{Pa} \times (1 \, \text{m}^3 – 0.5 \, \text{m}^3) \] \[ W = 50662.5 \, \text{J}\]

3. Calcul de la Variation d’Énergie Interne \(\Delta U\)

• Capacité calorifique à volume constant (\(C_v\)) pour un gaz parfait diatomique :

\[ = \frac{5}{2} R\]

• Calcul du nombre de moles (\(n\)) :

\[n = \frac{P_1V_1}{RT_1}\]

• Formule de variation d’énergie interne :

\[ \Delta U = nC_v \Delta T \]

Calcul :

\[ n = \frac{101325 \, \text{Pa} \times 0.5 \, \text{m}^3}{8.314 \, \text{J/mol}\cdot\text{K} \times 300 \, \text{K}} \]

\[\Delta U = n \times \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/mol}\cdot\text{K} \times (600 \, \text{K} – 300 \, \text{K}) \] \[ \Delta U \approx 126656.25 \, \text{J} \]

4. Calcul de la Quantité de Chaleur Échangée \(Q\)

Premier principe de la thermodynamique :

\[ \Delta U = Q – W \]

Calcul :

\[ Q = \Delta U + W \] \[ Q = 126656.25 \, \text{J} + 50662.5 \, \text{J} \] \[ Q = 177318.75 \, \text{J} \]

Résumé des Résultats

• Température finale : \(T_2 = 600 \, \text{K}\)
• Travail effectué : \(W = 50662.5 \, \text{J}\)
• Variation d’énergie interne : \(\Delta U = 126656.25 \, \text{J}\)
• Chaleur échangée : \(Q = 177318.75 \, \text{J}\)

Propriétés Thermodynamiques d’un Gaz Parfait

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