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Chauffage d’un récipient d’eau

Chauffage d’un récipient d’eau en Thermodynamique

Chauffage d’un récipient d’eau en Thermodynamique

Comprendre le Chauffage de l'Eau et les Transferts d'Énergie

Le chauffage de l'eau est un processus thermodynamique courant impliquant un transfert d'énergie sous forme de chaleur. Selon le premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie), l'énergie fournie à l'eau (par exemple, par une résistance chauffante) se traduit par une augmentation de son énergie interne, qui se manifeste principalement par une élévation de sa température. La quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une masse d'eau donnée dépend de sa capacité thermique massique. La puissance de la source de chauffage et la durée du chauffage déterminent l'énergie totale transférée. Comprendre ces relations est essentiel pour dimensionner des systèmes de chauffage, évaluer leur consommation énergétique et analyser leur efficacité.

Données de l'étude

On chauffe une certaine quantité d'eau dans un récipient à l'aide d'une résistance électrique.

Caractéristiques du système :

  • Masse de l'eau (\(m_{\text{eau}}\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Température initiale de l'eau (\(T_1\)) : \(20^\circ\text{C}\)
  • Température finale de l'eau (\(T_2\)) : \(80^\circ\text{C}\)
  • Capacité thermique massique de l'eau (\(c_{\text{eau}}\)) : \(4186 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)}\) (ou \(\text{J/(kg} \cdot ^\circ\text{C)}\))
  • Durée du chauffage (\(t\)) : \(10 \, \text{minutes}\)
  • Coût de l'électricité : \(0.15 \, \text{€/kWh}\)
  • On néglige les pertes de chaleur vers l'environnement et la capacité thermique du récipient pour les premières questions.
Schéma : Chauffage d'un récipient d'eau
Eau Chauffage (P) T2 T1 Masse m Chauffage de l'Eau

Illustration du chauffage de l'eau dans un récipient par une résistance.

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température (\(\Delta T\)) de l'eau en degrés Celsius (\(^\circ\text{C}\)) et en Kelvin (K).
  2. Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) nécessaire pour élever la température de l'eau de \(T_1\) à \(T_2\), en Joules (J).
  3. Convertir la durée du chauffage en secondes.
  4. En supposant qu'il n'y a aucune perte de chaleur vers l'environnement et que toute l'énergie électrique est convertie en chaleur pour l'eau, calculer la puissance électrique (\(P_{\text{elec}}\)) de la résistance chauffante en Watts (W).
  5. Calculer l'énergie électrique totale consommée (\(E_{\text{elec}}\)) par la résistance en kilowatt-heures (kWh).
  6. Calculer le coût de l'énergie électrique consommée pour ce chauffage.
  7. Si le rendement du système de chauffage (incluant les pertes vers le récipient et l'environnement) est de 85%, quelle serait la puissance électrique réelle consommée par la résistance pour obtenir le même chauffage de l'eau dans le même temps ?

Correction : Chauffage d’un récipient d’eau

Question 1 : Variation de température (\(\Delta T\))

Principe :

La variation de température est la différence entre la température finale et la température initiale. Une variation de température a la même valeur en degrés Celsius et en Kelvin.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta T = T_2 - T_1 \]
Données spécifiques :
  • Température finale (\(T_2\)) : \(80^\circ\text{C}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(20^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 80^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} \\ &= 60^\circ\text{C} \end{aligned} \]

Puisqu'une différence de \(1^\circ\text{C}\) est égale à une différence de \(1 \, \text{K}\), alors \(\Delta T = 60 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 : La variation de température est \(\Delta T = 60^\circ\text{C}\) ou \(\Delta T = 60 \, \text{K}\).

Question 2 : Quantité de chaleur (\(Q\)) nécessaire

Principe :

La quantité de chaleur nécessaire pour changer la température d'une masse de substance est donnée par la formule \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = m_{\text{eau}} \cdot c_{\text{eau}} \cdot \Delta T \]
Données spécifiques :
  • Masse de l'eau (\(m_{\text{eau}}\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Capacité thermique massique de l'eau (\(c_{\text{eau}}\)) : \(4186 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)}\)
  • Variation de température (\(\Delta T\)) : \(60 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 2.0 \, \text{kg} \times 4186 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)} \times 60 \, \text{K} \\ &= 502320 \, \text{J} \end{aligned} \]

Soit \(502.32 \, \text{kJ}\).

Résultat Question 2 : La quantité de chaleur nécessaire est \(Q = 502320 \, \text{J}\).

Question 3 : Conversion de la durée du chauffage en secondes

Principe :

Convertir les minutes en secondes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ 1 \, \text{minute} = 60 \, \text{secondes} \]
Données spécifiques :
  • Durée du chauffage (\(t\)) : \(10 \, \text{minutes}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t (\text{s}) &= 10 \, \text{minutes} \times 60 \, \text{s/minute} \\ &= 600 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La durée du chauffage est de \(600 \, \text{s}\).

Question 4 : Puissance électrique (\(P_{\text{elec}}\)) de la résistance

Principe :

La puissance est l'énergie transférée par unité de temps. Si l'on néglige les pertes, l'énergie électrique fournie est égale à la chaleur absorbée par l'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{elec}} = \frac{Q}{t} \]
Données spécifiques :
  • Quantité de chaleur (\(Q\)) : \(502320 \, \text{J}\)
  • Durée (\(t\)) : \(600 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{elec}} &= \frac{502320 \, \text{J}}{600 \, \text{s}} \\ &= 837.2 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La puissance électrique de la résistance chauffante est \(P_{\text{elec}} = 837.2 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la durée de chauffage est doublée pour fournir la même quantité de chaleur Q, la puissance nécessaire :

Question 5 : Énergie électrique totale consommée (\(E_{\text{elec}}\)) en kWh

Principe :

L'énergie est le produit de la puissance par le temps. Il faut convertir les unités pour obtenir des kWh.

\(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\). \(1 \, \text{kWh} = 1000 \, \text{W} \times 3600 \, \text{s} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\text{elec}} = P_{\text{elec}} \times t \]
Données spécifiques :
  • Puissance électrique (\(P_{\text{elec}}\)) : \(837.2 \, \text{W} = 0.8372 \, \text{kW}\)
  • Durée (\(t\)) : \(600 \, \text{s} = 600/3600 \, \text{h} = 1/6 \, \text{h} \approx 0.16667 \, \text{h}\)
Calcul :

Méthode 1 : Conversion de Q en kWh

\[ \begin{aligned} E_{\text{elec}} (\text{kWh}) &= \frac{Q (\text{J})}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \\ &= \frac{502320 \, \text{J}}{3600000 \, \text{J/kWh}} \\ &\approx 0.139533 \, \text{kWh} \end{aligned} \]

Méthode 2 : Utilisation de P (kW) et t (h)

\[ \begin{aligned} E_{\text{elec}} (\text{kWh}) &= P_{\text{elec}} (\text{kW}) \times t (\text{h}) \\ &= 0.8372 \, \text{kW} \times \frac{10}{60} \, \text{h} \\ &= 0.8372 \, \text{kW} \times 0.16666... \, \text{h} \\ &\approx 0.139533 \, \text{kWh} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(0.1395 \, \text{kWh}\).

Résultat Question 5 : L'énergie électrique totale consommée est d'environ \(0.1395 \, \text{kWh}\).

Question 6 : Coût de l'énergie électrique consommée

Principe :

Le coût est le produit de l'énergie consommée (en kWh) par le prix unitaire du kWh.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Coût} = E_{\text{elec}} (\text{kWh}) \times \text{Prix unitaire}_{\text{kWh}} \]
Données spécifiques :
  • Énergie électrique (\(E_{\text{elec}}\)) : \(\approx 0.139533 \, \text{kWh}\)
  • Prix unitaire de l'électricité : \(0.15 \, \text{€/kWh}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Coût} &\approx 0.139533 \, \text{kWh} \times 0.15 \, \text{€/kWh} \\ &\approx 0.02093 \, \text{€} \end{aligned} \]

Soit environ \(0.021 \, \text{€}\) ou \(2.1 \, \text{centimes d'euro}\).

Résultat Question 6 : Le coût de l'énergie électrique consommée est d'environ \(0.021 \, \text{€}\).

Question 7 : Puissance électrique réelle avec rendement de 85%

Principe :

Le rendement d'un système de chauffage est le rapport entre l'énergie utile (chaleur absorbée par l'eau, \(Q\)) et l'énergie électrique totale consommée (\(E_{\text{elec, réelle}}\)). Donc, \(E_{\text{elec, réelle}} = Q / \eta_{\text{système}}\). La puissance réelle sera cette énergie divisée par le temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{elec, réelle}} = \frac{P_{\text{elec, idéale}}}{\eta_{\text{système}}} = \frac{Q}{t \cdot \eta_{\text{système}}} \]
Données spécifiques :
  • Puissance électrique idéale (calculée à la question 4) : \(P_{\text{elec, idéale}} = 837.2 \, \text{W}\)
  • Rendement du système (\(\eta_{\text{système}}\)) : \(85\% = 0.85\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{elec, réelle}} &= \frac{837.2 \, \text{W}}{0.85} \\ &\approx 984.94 \, \text{W} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(984.9 \, \text{W}\).

Résultat Question 7 : Si le rendement du système est de 85%, la puissance électrique réelle consommée serait d'environ \(984.9 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le rendement d'un système de chauffage diminue, pour une même quantité de chaleur à fournir à l'eau dans le même temps, la puissance électrique consommée :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La capacité thermique massique (\(c\)) d'une substance représente :

2. L'unité de la puissance dans le Système International est :

3. Si la masse d'eau à chauffer double, la quantité de chaleur nécessaire pour atteindre la même variation de température (capacité thermique constante) :

Glossaire

Chaleur (\(Q\))
Forme de transfert d'énergie thermique entre deux systèmes ou entre un système et son environnement, due à une différence de température. Unité SI : Joule (J).
Capacité Thermique Massique (\(c\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une unité de masse d'une substance de un degré Celsius (ou un Kelvin). Unité SI : \(\text{J/(kg} \cdot \text{K)}\).
Puissance (\(P\))
Taux auquel l'énergie est transférée ou transformée. \(P = E/t\). Unité SI : Watt (W), où \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\).
Énergie (\(E\))
Capacité d'un système à produire un travail ou à transférer de la chaleur. Unité SI : Joule (J). Autre unité courante pour l'énergie électrique : kilowatt-heure (kWh).
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie, stipulant que la variation d'énergie interne d'un système est égale à la somme de la chaleur et du travail échangés avec l'extérieur.
Rendement (\(\eta\))
Rapport entre l'énergie utile produite par un système et l'énergie totale consommée par ce système. C'est une mesure de son efficacité, toujours inférieure ou égale à 1 (ou 100%).
Kelvin (K)
Unité de température thermodynamique (absolue) dans le Système International. Une variation de température en Kelvin est égale à la variation en degrés Celsius.
Chauffage d’un récipient d’eau - Exercice d'Application

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