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Chauffage de l’Eau à Pression Constante

Chauffage de l’Eau à Pression Constante en Thermodynamique

Chauffage de l’Eau à Pression Constante

Comprendre le Chauffage à Pression Constante et l'Enthalpie

Le chauffage d'une substance à pression constante est un processus thermodynamique courant, par exemple lorsqu'on chauffe de l'eau dans un récipient ouvert à l'atmosphère. Dans de telles conditions, la chaleur fournie au système ne sert pas uniquement à augmenter son énergie interne (et donc sa température), mais aussi à effectuer un travail d'expansion contre la pression extérieure constante. La fonction d'état qui prend en compte ces deux aspects est l'enthalpie (\(H\)). Pour une transformation à pression constante, la chaleur échangée (\(Q_P\)) est égale à la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du système. Cet exercice explore ces concepts pour le chauffage de l'eau.

Données de l'étude

On chauffe une masse d'eau liquide, initialement à une certaine température, jusqu'à une température finale, à pression atmosphérique constante.

Caractéristiques du système :

  • Masse de l'eau (\(m\)) : \(0.5 \, \text{kg}\)
  • Température initiale de l'eau (\(T_1\)) : \(25^\circ\text{C}\)
  • Température finale de l'eau (\(T_2\)) : \(95^\circ\text{C}\)
  • Pression atmosphérique constante (\(P\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
  • Capacité thermique massique de l'eau liquide à pression constante (\(c_p\)) : \(4186 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)}\)
  • Masse volumique de l'eau à \(25^\circ\text{C}\) (\(\rho_1\)) : \(997 \, \text{kg/m}^3\)
  • Masse volumique de l'eau à \(95^\circ\text{C}\) (\(\rho_2\)) : \(962 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\) (non directement utilisé pour les calculs principaux ici, mais contextuel)
Schéma : Chauffage de l'eau à pression constante
Eau à T1 Chauffage Qp T1 (puis T2) Pression Atmosphérique Constante Chauffage à Pression Constante

Chauffage de l'eau dans un récipient ouvert à l'atmosphère.

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température (\(\Delta T\)) de l'eau.
  2. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_P\)) fournie à l'eau pour cette élévation de température, en Joules (J).
  3. Calculer le volume initial (\(V_1\)) et le volume final (\(V_2\)) de l'eau.
  4. Calculer le travail d'expansion (\(W\)) effectué par l'eau contre la pression atmosphérique lors de son chauffage. (Rappel : \(W = -P \Delta V\) pour une transformation isobare réversible, où \(W\) est le travail reçu par le système).
  5. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) de l'eau lors de cette transformation.
  6. Vérifier que la chaleur fournie \(Q_P\) est bien égale à la variation d'enthalpie \(\Delta H\) du système (\(\Delta H = \Delta U + P\Delta V\)).

Correction : Chauffage de l’Eau à Pression Constante

Question 1 : Variation de température (\(\Delta T\))

Principe :

La variation de température est la différence entre la température finale et la température initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta T = T_2 - T_1 \]
Données spécifiques :
  • Température finale (\(T_2\)) : \(95^\circ\text{C}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(25^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 95^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} \\ &= 70^\circ\text{C} \end{aligned} \]

Cette variation est également de \(70 \, \text{K}\).

Résultat Question 1 : La variation de température est \(\Delta T = 70^\circ\text{C}\) (ou \(70 \, \text{K}\)).

Question 2 : Quantité de chaleur (\(Q_P\)) fournie

Principe :

Pour un chauffage à pression constante sans changement de phase, la quantité de chaleur est donnée par \(Q_P = m \cdot c_p \cdot \Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_P = m \cdot c_p \cdot \Delta T \]
Données spécifiques :
  • Masse de l'eau (\(m\)) : \(0.5 \, \text{kg}\)
  • Capacité thermique massique à pression constante (\(c_p\)) : \(4186 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)}\)
  • Variation de température (\(\Delta T\)) : \(70 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_P &= 0.5 \, \text{kg} \times 4186 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)} \times 70 \, \text{K} \\ &= 146510 \, \text{J} \end{aligned} \]

Soit \(146.51 \, \text{kJ}\).

Résultat Question 2 : La quantité de chaleur fournie à l'eau est \(Q_P = 146510 \, \text{J}\).

Question 3 : Volumes initial (\(V_1\)) et final (\(V_2\)) de l'eau

Principe :

Le volume est le rapport de la masse à la masse volumique (\(V = m/\rho\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_1 = \frac{m}{\rho_1} \quad \text{et} \quad V_2 = \frac{m}{\rho_2} \]
Données spécifiques :
  • Masse de l'eau (\(m\)) : \(0.5 \, \text{kg}\)
  • Masse volumique à \(T_1\) (\(\rho_1\)) : \(997 \, \text{kg/m}^3\)
  • Masse volumique à \(T_2\) (\(\rho_2\)) : \(962 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :

Volume initial \(V_1\) :

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{0.5 \, \text{kg}}{997 \, \text{kg/m}^3} \\ &\approx 0.0005015045 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Volume final \(V_2\) :

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{0.5 \, \text{kg}}{962 \, \text{kg/m}^3} \\ &\approx 0.0005197505 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

On peut arrondir \(V_1 \approx 5.015 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\) et \(V_2 \approx 5.198 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Résultat Question 3 :
  • Volume initial : \(V_1 \approx 0.0005015 \, \text{m}^3\)
  • Volume final : \(V_2 \approx 0.0005198 \, \text{m}^3\)

Question 4 : Travail d'expansion (\(W\)) effectué par l'eau

Principe :

Lors d'une transformation isobare (pression constante) réversible, le travail reçu par le système est \(W = -P \Delta V\). Le travail effectué par le système est donc \(P \Delta V\).

Formule(s) utilisée(s) (travail reçu par le système) :
\[ W = -P (V_2 - V_1) \]
Données spécifiques :
  • Pression constante (\(P\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 \approx 0.0005015045 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 \approx 0.0005197505 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V &= V_2 - V_1 \\ &\approx 0.0005197505 \, \text{m}^3 - 0.0005015045 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.000018246 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} W &= - (101325 \, \text{Pa}) \times (0.000018246 \, \text{m}^3) \\ &\approx -1.8488 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le travail reçu est négatif, ce qui signifie que le système (l'eau) a fourni du travail à l'atmosphère en se dilatant. Le travail effectué par l'eau est donc d'environ \(1.85 \, \text{J}\).

Résultat Question 4 : Le travail reçu par l'eau est \(W \approx -1.85 \, \text{J}\). L'eau effectue un travail d'expansion d'environ \(1.85 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un système se détend à pression constante, le travail qu'il reçoit de l'extérieur est :

Question 5 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) de l'eau

Principe :

La variation d'énergie interne d'une substance incompressible ou peu compressible comme l'eau liquide peut être approximée par \(\Delta U \approx m c_v \Delta T\). Pour les liquides et les solides, \(c_p \approx c_v = c\). Donc, on peut utiliser \(c_p\) pour \(c_v\).

Alternativement, on peut utiliser le premier principe : \(\Delta U = Q_P + W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = Q_P + W \]

(Utiliser \(c_p\) comme approximation de \(c_v\) pour l'eau liquide est courant : \(\Delta U \approx m c_p \Delta T\). Cependant, la chaleur \(Q_P\) calculée à la question 2 est déjà \(m c_p \Delta T\), qui est \(\Delta H\). Pour \(\Delta U\), il faut utiliser le premier principe.)

Données spécifiques :
  • Chaleur fournie (\(Q_P\)) : \(146510 \, \text{J}\)
  • Travail reçu par l'eau (\(W\)) : \(\approx -1.8488 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 146510 \, \text{J} + (-1.8488 \, \text{J}) \\ &= 146510 \, \text{J} - 1.8488 \, \text{J} \\ &\approx 146508.15 \, \text{J} \end{aligned} \]

On voit que le travail d'expansion est très faible par rapport à la chaleur fournie pour l'eau liquide dans ces conditions.

Résultat Question 5 : La variation d'énergie interne de l'eau est \(\Delta U \approx 146508 \, \text{J}\).

Question 6 : Vérification \(\Delta H = Q_P\)

Principe :

L'enthalpie \(H\) est définie comme \(H = U + PV\). Pour une transformation à pression constante, la variation d'enthalpie \(\Delta H\) est égale à la chaleur échangée \(Q_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = \Delta U + \Delta (PV) \]

Pour une transformation à pression constante \(P\), \(\Delta (PV) = P \Delta V = P(V_2 - V_1)\).

Note : Le travail reçu par le système est \(W = -P\Delta V\), donc \(P\Delta V = -W\).

\[ \Delta H = \Delta U - W \]

D'après le premier principe, \(Q = \Delta U - W\). Donc, pour une transformation à pression constante, \(Q_P = \Delta H\).

Données spécifiques :
  • \(\Delta U \approx 146508.15 \, \text{J}\)
  • \(P \Delta V = -W \approx -(-1.8488 \, \text{J}) = 1.8488 \, \text{J}\)
  • \(Q_P = 146510 \, \text{J}\) (calculé à la question 2)
Calcul et Vérification :

Calcul de \(\Delta H\) à partir de \(\Delta U\) et \(P\Delta V\):

\[ \begin{aligned} \Delta H &= \Delta U + P(V_2 - V_1) \\ &\approx 146508.15 \, \text{J} + (101325 \, \text{Pa} \times 0.000018246 \, \text{m}^3) \\ &\approx 146508.15 \, \text{J} + 1.8488 \, \text{J} \\ &\approx 146510.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Comparaison :

\(\Delta H \approx 146510 \, \text{J}\)

\(Q_P = 146510 \, \text{J}\)

Les valeurs sont égales (aux arrondis près), ce qui vérifie que pour une transformation à pression constante, la chaleur échangée est égale à la variation d'enthalpie.

Résultat Question 6 : \(\Delta H \approx 146510 \, \text{J}\), ce qui est égal à \(Q_P\). La relation est vérifiée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un processus de chauffage à pression constante, la chaleur échangée est égale à :

2. L'enthalpie (\(H\)) est définie comme :

3. Lors du chauffage d'un liquide comme l'eau à pression atmosphérique (sans ébullition), le travail d'expansion \(P\Delta V\) est généralement :

Glossaire

Système Fermé
Système qui échange de l'énergie (chaleur, travail) mais pas de matière avec son environnement.
Premier Principe de la Thermodynamique
La variation d'énergie interne d'un système est égale à la somme de la chaleur et du travail échangés : \(\Delta U = Q + W\).
Énergie Interne (\(U\))
Énergie totale contenue dans un système, incluant les énergies cinétiques et potentielles de ses particules. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie par \(H = U + PV\). Utile pour les transformations à pression constante, où \(\Delta H = Q_P\).
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique dû à une différence de température. \(Q>0\) si reçue par le système.
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie par action d'une force sur une distance. \(W>0\) si reçu par le système (compression), \(W<0\) si fourni par le système (détente).
Capacité Thermique Massique à Pression Constante (\(c_p\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une unité de masse d'une substance de \(1 \, \text{K}\) (ou \(1^\circ\text{C}\)) à pression constante.
Transformation Isobare
Processus thermodynamique qui se déroule à pression constante.
Chauffage de l’Eau à Pression Constante - Exercice d'Application

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