Cycle Brayton Simple
Comprendre le Cycle Brayton Simple
Un cycle Brayton simple utilise de l’air comme fluide de travail, parcourant un compresseur, une chambre de combustion, et une turbine.
Données initiales :
- Pression initiale de l’air (P1) : 1 bar
- Température initiale de l’air (T1) : 300 K
- Rapport de compression : 8
- Température après combustion (T3) : 1300 K
- Capacité calorifique à pression constante (Cp) : 1.005 kJ/kg.K
- Capacité calorifique à volume constant (Cv) : 0.718 kJ/kg.K
Hypothèses :
- L’air est considéré comme un gaz parfait.
- Les processus de compression et d’expansion sont isentropiques.
- Les pertes de chaleur et les frottements sont négligés.
Questions :
1. Calcul de la Température à la Sortie du Compresseur \((T_2)\)
- Utiliser la relation de température isentropique pour le rapport de compression.
2. Calcul de la Chaleur Ajoutée dans la Chambre de Combustion \((Q_in)\)
- Appliquer la formule de la chaleur spécifique à pression constante.
3. Calcul du Travail du Compresseur \((W_c)\)
- Employer la formule du travail pour un processus isentropique.
4. Détermination de la Température à la Sortie de la Turbine \((T_4)\)
- Utiliser la relation de température isentropique pour la détente dans la turbine.
5. Calcul du Travail de la Turbine \((W_t)\)
- Appliquer la formule du travail pour un processus isentropique.
6. Calcul du Travail Net Produit et du Rendement Thermique du Cycle
- Utiliser les résultats précédents pour déterminer le travail net et le rendement.
Correction : Cycle Brayton Simple
Hypothèses :
- L’air est un gaz parfait.
- Les processus de compression et d’expansion sont isentropiques.
- Aucune perte de chaleur ou effet de frottement n’est considéré.
Relation utile :
Le rapport des chaleurs spécifiques (facteur adiabatique) :
\[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} \approx \frac{1.005}{0.718} \approx 1.4 \]
1. Calcul de la température à la sortie du compresseur (\(T_2\))
Lors d’une compression isentropique, la température évolue selon la relation :
\[ T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \]
Données :
- \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
- \(r = \frac{P_2}{P_1} = 8\)
- \(\gamma = 1.4\)
Calcul :
\[ \frac{\gamma – 1}{\gamma} = \frac{1.4 – 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} \approx 0.2857 \]
\[ T_2 = 300 \times 8^{0.2857} \] \[ T_2 \approx 300 \times 1.811 \] \[ T_2 \approx 543.3 \, \text{K} \]
2. Calcul de la chaleur ajoutée dans la chambre de combustion (\(Q_{\text{in}}\))
Dans un processus à pression constante, la chaleur ajoutée est donnée par :
\[ Q_{\text{in}} = C_p \, (T_3 – T_2) \]
Données :
- \(C_p = 1.005 \, \text{kJ/kg.K}\)
- \(T_3 = 1300 \, \text{K}\)
- \(T_2 \approx 543.3 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \Delta T_{\text{combustion}} = T_3 – T_2 \] \[ \Delta T_{\text{combustion}} = 1300 – 543.3 \] \[ \Delta T_{\text{combustion}} = 756.7 \, \text{K} \]
\[ Q_{\text{in}} = 1.005 \times 756.7 \] \[ Q_{\text{in}} \approx 761.5 \, \text{kJ/kg} \]
3. Calcul du travail du compresseur (\(W_c\))
Le travail nécessaire pour comprimer l’air de façon isentropique s’exprime par la variation d’enthalpie :
\[ W_c = C_p \, (T_2 – T_1) \]
Données :
- \(C_p = 1.005 \, \text{kJ/kg.K}\)
- \(T_2 \approx 543.3 \, \text{K}\)
- \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ T_2 – T_1 = 543.3 – 300 = 243.3 \, \text{K} \]
\[ W_c = 1.005 \times 243.3 \] \[ W_c \approx 244.5 \, \text{kJ/kg} \]
4. Détermination de la température à la sortie de la turbine (\(T_4\))
Pour une détente isentropique dans la turbine, la relation est similaire à celle de la compression :
\[ T_4 = T_3 \left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \]
Ici, après détente, la pression de sortie \(P_4\) est égale à la pression initiale \(P_1\) (1 bar) et \(P_3 = P_2 = 8 \, \text{bar}\).
Données :
- \(T_3 = 1300 \, \text{K}\)
- \(P_4/P_3 = 1/8\)
- \(\gamma = 1.4\) donc \(\frac{\gamma – 1}{\gamma} \approx 0.2857\)
Calcul :
\[ T_4 = 1300 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{0.2857} \] \[ T_4 = 1300 \times 8^{-0.2857} \] \[ T_4 \approx 1300 \times 0.552 \] \[ T_4 \approx 717.6 \, \text{K} \]
5. Calcul du travail de la turbine (\(W_t\))
Le travail produit par la turbine est la diminution de l’enthalpie de l’air, donnée par :
\[ W_t = C_p \, (T_3 – T_4) \]
Données :
- \(C_p = 1.005 \, \text{kJ/kg.K}\)
- \(T_3 = 1300 \, \text{K}\)
- \(T_4 \approx 717.6 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ T_3 – T_4 = 1300 – 717.6 = 582.4 \, \text{K} \]
\[ W_t = 1.005 \times 582.4 \] \[ W_t \approx 585.3 \, \text{kJ/kg} \]
6. Calcul du travail net produit et du rendement thermique du cycle
Travail net :
Le travail net est la différence entre le travail produit par la turbine et le travail consommé par le compresseur :
\[ W_{\text{net}} = W_t – W_c \]
Calcul :
\[ W_{\text{net}} = 585.3 – 244.5 \] \[ W_{\text{net}} \approx 340.8 \, \text{kJ/kg} \]
Rendement thermique (\(\eta\)) :
Le rendement thermique du cycle est défini par le rapport du travail net sur la chaleur ajoutée :
\[ \eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} \]
Calcul :
\[ \eta = \frac{340.8}{761.5} \] \[ \eta \approx 0.4479 \quad \text{soit} \quad 44.8\% \]
Cycle Brayton Simple
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