Distance entre Deux Collines en Géodésie

Distance entre Deux Collines en Géodésie

Comprendre le Calcul de la Distance entre Deux Collines en Géodésie

Vous travaillez en tant que géodésiste sur un projet de construction d’un pont. Le pont doit enjamber une rivière, reliant deux collines dont les sommets sont visibles et accessibles.

Pour concevoir le pont, vous devez d’abord déterminer la distance exacte entre les deux sommets des collines, en tenant compte de la courbure de la Terre.

Données

  • Les coordonnées géographiques du sommet de la colline A sont 43°12’N, 2°15’E.
  • Les coordonnées géographiques du sommet de la colline B sont 43°15’N, 2°20’E.
  • La hauteur du sommet A par rapport au niveau de la mer est de 150 mètres.
  • La hauteur du sommet B par rapport au niveau de la mer est de 130 mètres.
  • Le rayon moyen de la Terre est de 6,371 km.

Instructions

  1. Calculez la distance angulaire en degrés entre les deux sommets en utilisant leurs coordonnées géographiques.
  2. Convertissez cette distance angulaire en distance linéaire sur la surface terrestre (en considérant la Terre comme une sphère parfaite).
  3. Ajustez cette distance en prenant en compte la différence d’altitude entre les deux sommets.

Correction : Distance entre Deux Collines en Géodésie

Étape 1 : Calcul de la Distance Angulaire

La distance angulaire \( D \) en radians entre les deux sommets est calculée comme suit :

\(D = \cos^{-1}\left(\sin(\text{lat}_A) \cdot \sin(\text{lat}_B) + \cos(\text{lat}_A) \cdot \cos(\text{lat}_B) \cdot \cos(\text{lon}_A – \text{lon}_B)\right)\)

En substituant les valeurs, on obtient :

\(D = \cos^{-1}\left(\sin(43.2^\circ) \cdot \sin(43.25^\circ) + \cos(43.2^\circ) \cdot \cos(43.25^\circ) \cdot \cos(-0.0833^\circ)\right)\)

Ce qui donne

\( D = 0.0013728564540177455 \) radians.

Étape 2 : Conversion en Distance Linéaire

La distance linéaire \( L \) sur la surface de la Terre est calculée en multipliant la distance angulaire par le rayon de la Terre :

\[ L = R \cdot D \]

Avec \( R = 6371 \) km, on obtient :

\( L = 6371 \cdot 0.0013728564540177455 \)

Ce qui donne

\( L = 8.746468468547057 \) km.

Étape 3 : Ajustement en Fonction de l’Altitude

L’ajustement de la distance \( L_{\text{ajusté}} \) en prenant en compte la différence d’altitude se calcule comme suit :

\[ L_{\text{ajusté}} = \sqrt{L^2 + (h_A – h_B)^2} \]
Avec \( h_A = 150 \) m et \( h_B = 130 \) m,

on a :

\( L_{\text{ajusté}} = \sqrt{8.746^2 + (150 – 130)^2} \)

Ce qui donne

\( L_{\text{ajusté}} = 21.82889623117229 \) km.

En convertissant en mètres, la distance ajustée est de 21828.896 mètres.

Distance entre Deux Collines en Géodésie

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