Levé Planimétrique et Altimétrique
Comprendre la Levé Planimétrique et Altimétrique
Vous êtes un technicien en topographie et vous devez réaliser un levé planimétrique et altimétrique d’un terrain destiné à la construction d’un petit parc public. Le terrain est approximativement rectangulaire et bordé par quatre rues. Votre mission consiste à déterminer les coordonnées des angles du terrain ainsi que le profil altimétrique le long de la diagonale principale.
Données
- Les coordonnées de départ (point A, situé à l’angle sud-ouest du terrain) sont : m, m.
- Depuis le point A, vous mesurez un angle de vers le nord-est pour atteindre le point B (angle nord-est).
- La distance entre A et B est de 100 mètres.
- Depuis le point B, en suivant la limite nord du terrain, vous tournez de vers la gauche et parcourez 150 mètres pour atteindre le point C (angle nord-ouest).
- Le point D (angle sud-est) est directement à l’est du point A et à 150 mètres de ce dernier.
- Les relevés altimétriques le long de la diagonale AC sont les suivants (mesurés tous les 20 mètres à partir du point A) : 100 m, 102 m, 105 m, 108 m, 110 m, 113 m.
Questions:
- Calculez les coordonnées des points B, C, et D en utilisant les données de distance et d’angle fournies.
- Tracez le profil altimétrique le long de la diagonale AC.
- Estimez la pente moyenne de la diagonale AC.
Correction : Levé Planimétrique et Altimétrique
1. Calcul des coordonnées planimétriques
A. Calcul du point B
À partir du point A, de coordonnées
• XA = 350 000 m
• YA = 500 000 m
on se déplace de 100 m dans la direction 45° (nord-est).
La formule pour obtenir les coordonnées d’un point à partir d’un point de départ, d’une distance \(d\) et d’un angle \(\theta\) est :
\[ X = X_A + d \times \cos(\theta) \] \[ Y = Y_A + d \times \sin(\theta) \]
Données :
- \(X_A = 350\,000\) m
- \(Y_A = 500\,000\) m
- \(d = 100\) m
- \(\theta = 45^\circ\) (pour lequel \(\cos 45^\circ \approx 0,7071\) et \(\sin 45^\circ \approx 0,7071\))
Calcul :
\[ X_B = 350\,000 + 100 \times 0,7071 \] \[ X_B \approx 350\,000 + 70,71 \] \[ X_B = 350\,070,71 \text{ m} \]
\[ Y_B = 500\,000 + 100 \times 0,7071 \] \[ Y_B \approx 500\,000 + 70,71 \] \[ Y_B = 500\,070,71 \text{ m} \]
B. Calcul du point C
Depuis le point B, on suit la limite nord du terrain. En tournant de 90° vers la gauche par rapport à la direction initiale (45°), la nouvelle direction est :
\[ 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \]
On parcourt ensuite 150 m dans cette direction.
La formule utilisée est la même :
\[ X = X_B + d \times \cos(\theta) \] \[ Y = Y_B + d \times \sin(\theta) \]
Données :
- \(X_B = 350\,070,71\) m
- \(Y_B = 500\,070,71\) m
- \(d = 150\) m
- \(\theta = 135^\circ\) (pour lequel \(\cos 135^\circ \approx -0,7071\) et \(\sin 135^\circ \approx 0,7071\))
Calcul :
\[ X_C = 350\,070,71 + 150 \times (-0,7071) \] \[ X_C \approx 350\,070,71 – 106,07 \] \[ X_C = 349\,964,64 \text{ m} \]
\[ Y_C = 500\,070,71 + 150 \times 0,7071 \] \[ Y_C \approx 500\,070,71 + 106,07 \] \[ Y_C = 500\,176,78 \text{ m} \]
C. Calcul du point D
Le point D se situe directement à l’est du point A, à 150 m de celui-ci. Cela signifie que seule la coordonnée \(X\) change (elle augmente de 150 m), tandis que \(Y\) reste identique.
Données :
- \(X_A = 350\,000\) m
- \(Y_A = 500\,000\) m
- \(d = 150\) m (direction est)
Calcul :
\[ X_D = 350\,000 + 150 \] \[ X_D = 350\,150 \text{ m} \]
\[ Y_D = 500\,000 \text{ m} \]
2. Trace du profil altimétrique le long de la diagonale AC
La diagonale AC relie le point A au point C. Le relevé altimétrique est effectué le long de cette diagonale avec des mesures tous les 20 m à partir de A.
On dispose des altitudes suivantes :
- À 0 m (point A) : 100 m
- À 20 m : 102 m
- À 40 m : 105 m
- À 60 m : 108 m
- À 80 m : 110 m
- À 100 m : 113 m
Schéma du profil altimétrique :
3. Estimation de la pente moyenne de la diagonale AC
La pente moyenne est définie comme le rapport entre la différence d’altitude et la distance horizontale parcourue le long de la diagonale.
Formule :
\[ \text{Pente moyenne} = \frac{\Delta h}{d} \] où \[ \Delta h = h_{\text{fin}} – h_{\text{début}} \]
Données :
- Altitude au point A (début) : 100 m
- Altitude à 100 m le long de la diagonale : 113 m
- Distance considérée : 100 m
Calcul :
\[ \Delta h = 113\,\text{m} – 100\,\text{m} = 13\,\text{m} \]
\[ \text{Pente moyenne} = \frac{13\,\text{m}}{100\,\text{m}} = 0,13 \] \[ \text{soit} \quad 13\% \]
Conclusion
- Point B : \((350\,070,71\,\text{m},\ 500\,070,71\,\text{m})\)
- Point C : \((349\,964,64\,\text{m},\ 500\,176,78\,\text{m})\)
- Point D : \((350\,150\,\text{m},\ 500\,000\,\text{m})\)
- Profil altimétrique le long de AC : Altitudes mesurées à 0, 20, 40, 60, 80 et 100 m sont respectivement 100, 102, 105, 108, 110 et 113 m.
- Pente moyenne de AC : 13%
Levé Planimétrique et Altimétrique
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