Calcul la résistance d’une planche de bois

Comprendre le calcul de la résistance d’une planche de bois

Objectif de l’exercice: L’étudiant doit déterminer si une planche de bois peut supporter une charge spécifique sans se rompre.

Données de l’exercice:

• Matériau de la planche: Pin
• Longueur de la planche, L: 2 mètres
• Largeur de la planche, b: 30 cm
• Épaisseur de la planche, h: 5 cm
• Charge appliquée uniformément sur la longueur, P: 1500 N
• Module d’Young du pin, E: 11 GPa
• Résistance à la rupture du pin, \(σ_rupt\): 40 MPa

Questions:

1. Calcul de la flexion maximale: La planche est posée sur deux appuis à ses extrémités. On considère que la planche se comporte comme une poutre en flexion simple sous l’effet de la charge P. Calculez la flèche maximale (déflexion verticale maximale) de la planche sous la charge.
2. Vérification de la contrainte de flexion: Calculez la contrainte de flexion maximale (σ_flexion) au point le plus sollicité de la planche en utilisant la formule de la contrainte de flexion pour une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie
3. Évaluation de la sécurité: Comparez la contrainte de flexion maximale calculée à la résistance à la rupture du pin. Déterminez si la planche est en sécurité en utilisant un facteur de sécurité ​​$n$
4. Discussion:
   • Que se passerait-il si la charge était doublée ?
   • Comment l’épaisseur de la planche affecte-t-elle la flèche maximale et la contrainte de flexion ?
   • Quelles pourraient être les conséquences d’une humidité élevée sur la résistance de la planche ?

Correction : Calcul la résistance d’une planche de bois

1. Calcul de la flexion maximale (\(\delta_{\text{max}}\))

• Moment d’inertie (\(I\))

Le moment d’inertie pour une section rectangulaire est donné par la formule:

\[I = \frac{bh^3}{12}\]

En insérant les valeurs données:

\[I = \frac{0.30 \times (0.05)^3}{12} \] \[I = 3.125 \times 10^{-6} \, m^4\]

• Flèche maximale

La flèche maximale pour une poutre chargée uniformément et simplement appuyée aux deux extrémités est calculée avec:

\[\delta_{\text{max}} = \frac{5PL^4}{384EI}\]

\[\frac{5 \times 1500 \times (2)^4}{384 \times 11 \times 10^9 \times 3.125 \times 10^{-6}} \] \[ = 0.0091 \, m\]

Soit une flèche maximale d’environ 9.1 mm.

2. Vérification de la contrainte de flexion (\(\sigma_{\text{flexion}}\))

• Moment fléchissant maximal (\(M_f\))

Pour une charge uniformément répartie:

\[M_f = \frac{PL}{8} \] \[M_f = \frac{1500 \times 2}{8} = 375 \, Nm\]

• Contrainte de flexion

La contrainte de flexion au point le plus sollicité est calculée avec la formule

\[ \sigma = \frac{M_f y}{I} \]

où \(y_{\text{max}} = \frac{h}{2}\)

\[\sigma_{\text{flexion}} = \frac{375}{3.125 \times 10^{-6}} \times 0.025 \] \[\sigma_{\text{flexion}} = 3 \, MPa\]

3. Évaluation de la sécurité

• Facteur de sécurité (\(n\))

Le facteur de sécurité est calculé comme le rapport de la résistance à la rupture sur la contrainte maximale subie par la planche:

\[n = \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{\sigma_{\text{flexion}}} \] \[n = \frac{40}{3} \approx 13.33\]

Le facteur de sécurité, qui est de 13.33, révèle une marge de sécurité très élevée pour la planche en bois analysée.

Ce facteur de sécurité, bien au-delà du minimum communément accepté de 2 pour des applications statiques simples, indique que la planche possède une capacité de charge bien supérieure à la contrainte maximale qu’elle est susceptible de rencontrer dans son utilisation prévue.

Cela signifie non seulement que la planche est capable de supporter la charge appliquée sans risque de défaillance immédiate, mais aussi qu’elle a une capacité substantielle pour absorber des charges supplémentaires inattendues ou des augmentations de charge au fil du temps.

4. Discussion

Que se passerait-il si la charge était doublée ?

Si la charge P était doublée, cela affecterait directement la flèche maximale (\(\delta_{\text{max}}\)) et la contrainte de flexion (\(\sigma_{\text{flexion}}\)).

1. Flèche maximale (\(\delta_{\text{max}}\))

La formule de la flèche maximale est \(\delta_{\text{max}} = \frac{5PL^4}{384EI}\). Si la charge \(P\) est doublée, la flèche maximale serait également doublée, car \(P\) est directement proportionnelle à \(\delta_{\text{max}}\).

Cela signifie que la déformation de la planche sous charge serait deux fois plus importante, rendant la structure potentiellement moins sûre ou plus susceptible de dépasser les limites acceptables pour son application prévue.

2. Contrainte de flexion (\(\sigma_{\text{flexion}}\))

La contrainte de flexion dépend du moment fléchissant \(M_f\), qui est directement proportionnel à \(P\) (\(M_f = \frac{PL}{8}\)).

Si P double, \(M_f\) double également, entraînant une augmentation de la contrainte de flexion.

Cela pourrait rapprocher ou dépasser la résistance à la rupture du matériau, augmentant ainsi le risque de défaillance.

Comment l’épaisseur de la planche affecte-t-elle la flèche maximale et la contrainte de flexion ?

L’épaisseur de la planche (h) joue un rôle crucial dans sa rigidité.

1. Flèche maximale (\(\delta_{\text{max}}\))

L’épaisseur affecte le moment d’inertie (\(I = \frac{bh^3}{12}\)), qui est proportionnel à \(h^3\). Une augmentation de l’épaisseur entraîne une augmentation significative de \(I\), et donc une réduction de \(\delta_{\text{max}}\), rendant la planche plus rigide et moins susceptible de fléchir sous charge.

2. Contrainte de flexion (\(\sigma_{\text{flexion}}\))

Bien que l’épaisseur affecte aussi la contrainte de flexion par son impact sur \(I\), une plus grande épaisseur entraîne une diminution de la contrainte de flexion pour une charge donnée, améliorant ainsi la capacité de la planche à résister à des charges sans se rompre.

Quelles pourraient être les conséquences d’une humidité élevée sur la résistance de la planche ?

L’humidité élevée a plusieurs effets sur le bois :

1. Réduction de la résistance mécanique :

L’humidité peut pénétrer dans les fibres du bois, réduisant sa résistance mécanique et sa résistance à la rupture.

Cela signifie que la planche pourrait ne pas supporter des charges aussi importantes qu’en condition sèche.

2. Gonflement et retrait :

L’humidité fait gonfler le bois, ce qui peut modifier ses dimensions et potentiellement affecter son intégrité structurelle et sa forme, conduisant à un mauvais ajustement dans les constructions ou à des contraintes internes une fois que le bois sèche.

3. Vulnérabilité aux organismes nuisibles :

Une humidité élevée favorise la prolifération de champignons et d’autres organismes qui peuvent dégrader le bois, réduisant encore sa résistance mécanique et sa durabilité.

En conclusion, une humidité élevée peut sérieusement compromettre la capacité de la planche de bois à supporter des charges, nécessitant une considération soigneuse dans la conception et le maintien des structures en bois.

Calcul de la résistance d’une planche de bois

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