Calcul la résistance d’une planche de bois

Calcul la résistance d’une planche de bois

Comprendre le calcul de la résistance d’une planche de bois

Objectif de l’exercice: L’étudiant doit déterminer si une planche de bois peut supporter une charge spécifique sans se rompre.

Données de l’exercice:

  • Matériau de la planche: Pin
  • Longueur de la planche, L: 2 mètres
  • Largeur de la planche, b: 30 cm
  • Épaisseur de la planche, h: 5 cm
  • Charge appliquée uniformément sur la longueur, P: 1500 N
  • Module d’Young du pin, E: 11 GPa
  • Résistance à la rupture du pin, σ_rupt: 40 MPa

Questions:

  1. Calcul de la flexion maximale: La planche est posée sur deux appuis à ses extrémités. On considère que la planche se comporte comme une poutre en flexion simple sous l’effet de la charge P. Calculez la flèche maximale (déflexion verticale maximale) de la planche sous la charge.
  2. Vérification de la contrainte de flexion: Calculez la contrainte de flexion maximale (σ_flexion) au point le plus sollicité de la planche en utilisant la formule de la contrainte de flexion pour une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie
  3. Évaluation de la sécurité: Comparez la contrainte de flexion maximale calculée à la résistance à la rupture du pin. Déterminez si la planche est en sécurité en utilisant un facteur de sécurité , défini comme le rapport de la résistance à la rupture sur la contrainte maximale subie par la planche. On considère généralement qu’un facteur de sécurité de 2 est le minimum acceptable pour des applications statiques simples.
  4. Discussion:
    • Que se passerait-il si la charge était doublée ?
    • Comment l’épaisseur de la planche affecte-t-elle la flèche maximale et la contrainte de flexion ?
    • Quelles pourraient être les conséquences d’une humidité élevée sur la résistance de la planche ?

Correction : Calcul la résistance d’une planche de bois

1. Calcul de la flexion maximale (la flèche maximale):

La formule donnée pour calculer la flèche maximale (\delta_{\text{max}}) d’une poutre chargée uniformément est :

    \[\delta_{\text{max}} = \frac{5PL^4}{384EI}\]

Avant de l’appliquer, calculons le moment d’inertie (I) de la section transversale de la planche. Pour une section rectangulaire, I est donné par :

    \[I = \frac{bh^3}{12}\]

En insérant les valeurs données :

    \[I = \frac{0.30 \times (0.05)^3}{12} \]

    \[I = \frac{0.30 \times 0.000125}{12} \]

    \[I = \frac{0.0000375}{12} \]

    \[I \approx 3.125 \times 10^{-6} \ m^4\]

Maintenant, calculons \delta_{\text{max}} avec les valeurs données :

    \[ \frac{5 \times 1500 \times (2)^4}{384 \times 11 \times 10^9 \times 3.125 \times 10^{-6}} \]

    \[ \frac{5 \times 1500 \times 16}{384 \times 11 \times 10^9 \times 3.125 \times 10^{-6}} \]

    \[\delta_{\text{max}} = \frac{120000}{134.4 \times 10^3 \times 3.125}\]

    \[\delta_{\text{max}} = \frac{120000}{420 \times 10^3}\]

    \[\delta_{\text{max}} \approx 0.2857 \times 10^{-3} \ m\]

    \[\delta_{\text{max}} \approx 0.286 \ mm\]

La flèche maximale est donc d’environ 0.286 mm.

2. Vérification de la contrainte de flexion:

Le moment fléchissant maximal (M_f) est :

    \[M_f = \frac{PL}{8}\]

En insérant les valeurs :

    \[M_f = \frac{1500 \times 2}{8} \]

    \[M_f = \frac{3000}{8} = 375 \ N \cdot m\]

La contrainte de flexion (\sigma_{\text{flexion}}) au point le plus sollicité est :

    \[\sigma_{\text{flexion}} = \frac{M_f}{I} \cdot y_{\text{max}}\]

avec y_{\text{max}} = \frac{h}{2}:

    \[\sigma_{\text{flexion}} = \frac{375}{3.125 \times 10^{-6}} \times 0.025\]

    \[\sigma_{\text{flexion}} = 12000000 \times 0.025\]

    \[\sigma_{\text{flexion}} = 300000 \ Pa\]

    \[\sigma_{\text{flexion}} = 30 \ MPa\]

3. Évaluation de la sécurité:

Le facteur de sécurité (n) est :

    \[n = \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{\sigma_{\text{flexion}}}\]

    \[n = \frac{40 \times 10^6}{30 \times 10^6}\]

    \[n = \frac{40}{30}\]

    \[n = 1.33\]

Le facteur de sécurité est de 1.33, ce qui est inférieur au minimum acceptable de 2 pour des applications statiques simples.

Cela signifie que la planche n’est pas considérée comme sûre pour la charge donnée.

4. Discussion:

  • Si la charge était doublée, la flèche maximale et la contrainte de flexion seraient également doublées. La planche serait encore moins sûre et le risque de rupture augmenterait considérablement.
  • L’épaisseur de la planche affecte significativement la flèche maximale et la contrainte de flexion. Augmenter l’épaisseur réduirait la flèche et la contrainte car le moment d’inertie I est proportionnel à h^3, rendant la planche beaucoup plus rigide.
  • Une humidité élevée peut réduire la résistance mécanique du bois et sa résistance à la rupture, ce qui pourrait réduire le facteur de sécurité. L’humidité peut également causer le gonflement du bois, ce qui pourrait modifier les dimensions de la planche et par conséquent son comportement sous charge.

Calcul la résistance d’une planche de bois

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