Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Comprendre l’Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Vous êtes chargé de concevoir un système de plancher pour une construction résidentielle en bois.

Le bâtiment a une portée de plancher de 6 mètres et une largeur de 8 mètres. Le système de plancher doit supporter des charges résidentielles typiques.

Objectifs de l’Exercice:

1. Déterminer les dimensions appropriées des solives en bois.
2. Calculer la charge maximale que le système de plancher peut supporter.
3. Vérifier la déformation et la vibration du plancher selon l’EC5.

Données :

• Charge permanente (y compris le poids propre du plancher): 1,5 kN/m².
• Charge d’exploitation: 2,0 kN/m².
• Matériau des solives: bois résineux C24.
• Espacement des solives: 400 mm.
• Classe de service 1, durée de charge moyenne.

Questions:

1. Calcul de la charge totale:
   • Calculez la charge totale (permanente + d’exploitation) agissant sur le plancher.
2. Dimensionnement des solives:
   • Utilisez les propriétés du bois résineux C24 (selon l’Eurocode 5) pour déterminer la taille appropriée des solives.
   • Prenez en compte la portée des solives et l’espacement prévu.
3. Vérification de la résistance:
   • Calculez les moments de flexion et les forces de cisaillement dans les solives.
   • Vérifiez la résistance de la solive en utilisant les critères de l’Eurocode 5.
4. Vérification de la déformation:
   • Calculez la déformation maximale du plancher.
   • Assurez-vous que la déformation ne dépasse pas la limite prescrite par l’EC5.
5. Vérification de la vibration:
   • Évaluez la fréquence propre du plancher pour vérifier les critères de confort liés à la vibration.

Correction : Analyse d’un Système de Plancher en Bois

1. Calcul de la Charge Totale

• Charge permanente : \(1,5 \, \text{kN/m}^2\)
• Charge d’exploitation : \(2,0 \, \text{kN/m}^2\)

Charge totale sur le plancher :

Charge totale = Charge permanente + Charge d’exploitation

\[ = 1,5 + 2,0 \] \[ = 3,5 \, \text{kN/m}^2 \]

2. Dimensionnement des Solives

• Matériau : Bois résineux C24.
• Portée des solives : 6 m.
• Espacement des solives : 400 mm.

Charge répartie sur une solive :

Charge par solive = Charge totale x Espacement des solives

\[ = 3,5 \times 0,4 = 1,4 \, \text{kN/m} \]

Pour déterminer la taille appropriée des solives, nous utilisons les tables de dimensionnement de l’EC5 pour le bois C24 avec une portée de 6 m et une charge de 1,4 kN/m.

Supposons que la dimension recommandée soit 200 mm x 50 mm.

3. Vérification de la Résistance

Calcul du Moment de Flexion Maximal (M)

• Portée des solives : 6 m
• Charge répartie sur une solive} : 1,4 kN/m

Formule du Moment de Flexion Maximal :

\[ M = \frac{1}{8} \times \text{charge répartie} \times \text{portée}^2 \]

• Calcul :

\[ M = \frac{1}{8} \times 1,4 \times 6^2
\] \[ M = 6,3 \, \text{kNm} \]

Calcul de la Force de Cisaillement Maximale (V)

Formule de la Force de Cisaillement Maximale :

\[ V = \frac{1}{2} \times \text{charge répartie} \times \text{portée} \]

• Calcul :

\[ V = \frac{1}{2} \times 1,4 \times 6 \] \[ V = 4,2 \, \text{kN} \]

Comparaison aux capacités de résistance du bois C24 selon l’Eurocode 5 (EC5)

A. Détermination des Capacités de Résistance du Bois C24

• Résistance à la flexion du bois C24 : \( f_{m,k} = 24 \) MPa.
• Résistance au cisaillement du bois C24 : \( f_{v,k} = 2.5 \) MPa.

B. Calcul des Contraintes de Flexion et de Cisaillement

Contrainte de Flexion \( \sigma_m \)

• Module de Résistance (W) pour une section rectangulaire :

\[ W = \frac{b \times h^2}{6} \], où \( b \) est la largeur et \( h \) la hauteur de la solive.

Calcul de \( W \) :

\[ W = \frac{0.05 \times 0.2^2}{6} \] \[ W \approx 3.33 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]

• Calcul de la Contrainte de Flexion :

\[ \sigma_m = \frac{M}{W} \] avec \( M = 6.3 \, \text{kNm} \)

Conversion de \( M \) en Nm : \( M = 6.3 \times 10^3 \, \text{Nm} \).

\[ \sigma_m = \frac{6.3 \times 10^3}{3.33 \times 10^{-4}} \] \[ \sigma_m \approx 18,900 \, \text{kN/m}^2 \]

Contrainte de Cisaillement \( \sigma_v \)

• Aire de la Section Transversale (A) :

\[ A = b \times h = 0.05 \times 0.2 \] \[ A = 0.01 \, \text{m}^2 \]

• Calcul de la Contrainte de Cisaillement :

\[ \sigma_v = \frac{V}{A} \] avec \( V = 4.2 \, \text{kN} \)

Conversion de \( V \) en N : \( V = 4.2 \times 10^3 \, N \).

\[ \sigma_v = \frac{4.2 \times 10^3}{0.01} \] \[ \sigma_v \approx 420 \, \text{kN/m}^2 \]

C. Comparaison des Contraintes avec les Résistances

Comparaison pour la flexion :

\( \sigma_m \approx 18,900 \, \text{kN/m}^2 \) est comparée à \( f_{m,k} = 24,000 \, \text{kN/m}^2 \).

Comparaison pour le cisaillement :

\( \sigma_v \approx 420 \, \text {kN/m}^2 \) est comparée à \( f_{v,k} = 2,500 \, \text {kN/m}^2 \).

Les contraintes calculées, tant pour la flexion que pour le cisaillement, sont inférieures aux résistances caractéristiques du bois C24, indiquant que la solive répond aux exigences de l’Eurocode 5 en termes de résistance à la flexion et au cisaillement.

4. Vérification de la Déformation

• Portée des solives : \(6 \, \text{m}\)
• Limite de déformation :

\[ = \frac{6}{250} = 0.024 \, \text{m} \] \[ = 24 \, \text{mm} \]

Calcul de la Déformation Maximale

• Moment d’Inertie (I) :

\[ I = \frac{0.05 \times 0.2^3}{12} \] \[ I \approx 3.33 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]

• Moment Fléchissant Maximal (M) :

\[ M = \frac{1.4 \times 6^2}{8} \] \[ M = 6.3 \, \text{kNm} \]

• Flèche Maximale :

\[ = \frac{5 \times 1.4 \times 6^4}{384 \times 11000 \times 3.33 \times 10^{-5}} \] \[ \approx 64.43 \, \text{mm} \]

La flèche maximale calculée dépasse la limite de 24 mm, indiquant une déformation excessive.

5. Vérification de la vibration:

Calcul de la Rigidité des Solives (k)

• Rigidité (k) :

\[ k = \frac{3 \times E \times I}{L^3} \]

\[ = \frac{3 \times 11000 \times 3.33 \times 10^{-5}}{6^3} \] \[ k \approx 0.00509 \, \text{MN/m} \]

Calcul de la Masse Linéaire du Plancher (m)

• Masse surfacique du plancher :

= densité du bois x épaisseur du plancher

\[ = 500 \times 0.03 \, \text{kg/m}^2 \]

• Masse linéaire :

m = masse surfacique x largeur de la solive

\[ m = 15 \times 0.05 \, \text{kg/m}
\] \[ m \approx 0.75 \, \text{kg/m} \]

Calcul de la Fréquence Propre du Plancher (f)

• Fréquence propre (f) :

\[ f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \] \[ f = \frac{1}{2 \times 3.14159} \sqrt{\frac{0.00509}{0.75}} \] \[ f \approx 0.0131 \, \text{Hz} \]

Le résultat obtenu pour la fréquence propre est d’environ 0.0131 Hz, ce qui semble être une valeur très basse. Cela suggère que la conception pourrait ne pas satisfaire aux critères de confort liés aux vibrations selon l’Eurocode 5. Il est important de reconsidérer la conception pour augmenter la fréquence propre du plancher, ce qui pourrait impliquer d’augmenter la rigidité des solives ou de réduire la masse du plancher.

Analyse d’un Système de Plancher en Bois

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