Caractéristiques mécaniques du bois
Comprendre les caractéristiques mécaniques du bois :
Vous êtes chargé de concevoir une poutre en bois pour une structure résidentielle. Cette poutre doit supporter une charge uniformément répartie (y compris son propre poids) et s’étend sur une portée de 4 mètres.
Le bois utilisé est du pin sylvestre (classe de résistance C24 selon l’Eurocode 5).
Données
- Longueur de la poutre, L = 4 m
- Charge permanente (y compris le poids de la poutre), G = 1,5 kN/m
- Charge d’exploitation, Q = 3,0 kN/m
- Classe de résistance du bois : C24
- Coefficients de sécurité et de durabilité selon l’Eurocode 5
Objectif
Déterminez la section minimale requise de la poutre en bois (hauteur et largeur) pour qu’elle supporte en toute sécurité les charges mentionnées.
Correction : caractéristiques mécaniques du bois
Étape 1: Calcul des Charges Totales
La charge totale sur la poutre se calcule en additionnant la charge permanente et la charge d’exploitation :
\[ W = G + Q \] \[ W = 1,5 \, \text{kN/m} + 3,0 \, \text{kN/m} \] \[ W = 4,5 \, \text{kN/m} \]
Étape 2: Moment Fléchissant Maximal
Pour une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal, \(M_{\text{max}}\), se produit au milieu de la portée et se calcule avec la formule :
\[ M_{\text{max}} = \frac{W \times L^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{4,5 \, \text{kN/m} \times (4 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 9 \, \text{kNm} \]
Étape 3: Sélection des Propriétés Mécaniques du Bois (C24)
- Résistance à la flexion, \(f_{m,k} = 24 \, \text{N/mm}^2\) (valeur standard pour C24)
- Coefficient de sécurité, \(\gamma_M = 1,3\) (selon Eurocode 5)
Étape 4: Dimensionnement de la Poutre
La poutre doit être dimensionnée pour satisfaire à la condition suivante, où le moment de résistance doit être supérieur ou égal au moment fléchissant maximal, en prenant en compte le coefficient de sécurité :
\[ \frac{M_{\text{max}} \times 10^6}{\frac{b \times h^2}{6}} \leq \frac{f_{m,k}}{\gamma_M} \]
En assumant que la largeur \(b\) est égale à la moitié de la hauteur \(h\), soit \(b = \frac{h}{2}\), le calcul est simplifié en résolvant pour \(h\) :
\[ h^3 = \frac{6 \times M_{\text{max}} \times \gamma_M}{f_{m,k} \times 10^6 / 2} \] \[ h = \sqrt[3]{\frac{6 \times 9 \times 10^6 \times 1.3}{24 \times 10^6 / 2}} \]
\[ h \approx 18.0 \, \text{cm} \]
La largeur \(b\) est la moitié de la hauteur, donc :
\[ b = \frac{h}{2} \approx 9.0 \, \text{cm} \]
Conclusion
Pour la poutre en bois de pin sylvestre (C24), sous les charges spécifiées, une section minimale de 18 cm (hauteur) x 9 cm (largeur) est requise pour respecter les critères de sécurité et de durabilité selon l’Eurocode 5.
Caractéristiques mécaniques du bois
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