Calcul d’une poutre en bois
Comprendre le calcul d’une poutre en bois :
Vous êtes ingénieur structure dans une entreprise de construction. Votre projet actuel implique la conception d’une structure résidentielle en bois.
Vous devez calculer les dimensions et la capacité portante d’une poutre principale en bois qui soutiendra le plancher d’un étage.
Données :
- Matériau de la poutre : Bois de pin
- Longueur de la poutre : 6 mètres
- Charge permanente : 1.5 kN/m² (inclut le poids de la structure, plancher, etc.)
- Charge variable : 2.0 kN/m² (mobilier, occupants)
- Coefficient de sécurité : Selon Eurocode
- Largeur de poutre : \(b = 150 \, \text{mm}\)
- La largeur effectivement couverte par la poutre \(b_{\text{eff}}\) = 2 m
Objectifs de l’exercice :
- Calcul de la Charge Totale : Calculez la charge totale que la poutre doit supporter en considérant les charges permanentes et variables.
- Sélection du Type de Bois et Dimensionnement : En vous basant sur les propriétés du bois de pin et les normes Eurocode, déterminez la section transversale appropriée de la poutre.
- Vérification de la Résistance et Déformation : Assurez-vous que la poutre choisie respecte les critères de résistance et de déformation sous les charges appliquées, conformément à Eurocode 5.
- Analyse de la Sécurité : Évaluez la sécurité de la poutre en appliquant le coefficient de sécurité Eurocode.
Correction : Calcul d’une poutre en bois
1. Calcul des Charges
a. Charge Totale par Mètre Linéaire (\(q\))
Pour calculer la charge appliquée à la poutre, nous devons prendre en compte la largeur effectivement couverte par la poutre (notée \(b_{\text{eff}}\)).
Sachant que \(b_{\text{eff}}\) soit de 2 m (ceci est un exemple; la valeur réelle dépendra de la disposition des poutres et du plancher).
- Charge permanente par mètre linéaire :
\[ = 1.5 \, \text{kN/m}^2 \times 2 \, \text{m} \] \[ = 3.0 \, \text{kN/m} \]
- Charge variable par mètre linéaire :
\[ = 2.0 \, \text{kN/m}^2 \times 2 \, \text{m} \] \[ = 4.0 \, \text{kN/m} \]
- Charge totale par mètre linéaire (\(q\)) :
\[ = 3.0 \, \text{kN/m} + 4.0 \, \text{kN/m} \] \[ = 7.0 \, \text{kN/m} \]
b. Charge Totale sur la Poutre
La charge totale est la charge par mètre linéaire (calculée ci-dessus) multipliée par la longueur de la poutre.
- Charge totale sur la poutre :
\[ = 7.0 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} \] \[ = 42 \, \text{kN} \]
2. Dimensionnement de la Poutre
a. Moment Maximal (\(M\))
Le moment maximal pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée est calculé par
\[ M = \frac{q \cdot l^2}{8} \] \[ M = \frac{7.0 \, \text{kN/m} \times (6 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M = 31.5 \, \text{kNm} \]
b. Module de Résistance (\(W\)) Nécessaire
Le module de résistance est calculé pour assurer que la contrainte de flexion ne dépasse pas la résistance à la flexion du bois.
La contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)) est dérivée de la résistance à la flexion du bois de pin, \(f_m = 24 \, \text{MPa}\), et du coefficient de sécurité.
Nous utiliserons directement la résistance à la flexion comme contrainte admissible pour cet exemple simplifié.
- \(W\) nécessaire est calculé par
\[ W = \frac{M}{\sigma_{\text{adm}}} \] \[ W = \frac{31.5 \times 10^6 \, \text{Nmm}}{24 \, \text{MPa}} \]
- Convertissons \(f_m\) en \(\text{N/mm}^2\) pour être cohérents avec les unités de \(M\)
\[ W = \frac{31.5 \times 10^6}{24 \times 10^3} \] \[ W = 1312.5 \, \text{cm}^3 \]
c. Hauteur de la Poutre (\(h\))
Pour une section rectangulaire,
\[ W = \frac{b \cdot h^2}{6} \]
Avec une largeur de poutre \(b = 150 \, \text{mm}\), nous pouvons résoudre pour \(h\).
\[ 1312.5 \, \text{cm}^3 = \frac{15 \, \text{cm} \cdot h^2}{6} \] \[ h^2 = \frac{1312.5 \times 6}{15} \] \[ h = \sqrt{\frac{1312.5 \times 6}{15}} \] \[ h = \sqrt{525} \] \[ h \approx 22.9 \, \text{cm} \]
3. Vérification de la Résistance et Déformation
a. Vérification de la Résistance à la Flexion
Pour vérifier la résistance à la flexion, nous utilisons la contrainte de flexion (\(\sigma\)) qui doit être comparée à la résistance à la flexion admise (\(f_m\)) pour le bois de pin.
La contrainte de flexion est donnée par la formule
\[ \sigma = \frac{M}{W} \]
Avec \(M = 31.5 \, \text{kNm}\) (ou \(31500 \, \text{N}\cdot\text{m}\)) et \(W = 1312.5 \, \text{cm}^3\) (ou \(1312500 \, \text{mm}^3\)),
La contrainte de flexion est
\[ \sigma = \frac{31500 \times 10^3 \, \text{Nmm}}{1312500 \, \text{mm}^3} \] \[ \sigma = 24 \, \text{N/mm}^2 \] (ou \(24 \, \text{MPa}\)).
Puisque \(f_m = 24 \, \text{MPa}\) pour le bois de pin, la contrainte de flexion atteint juste la limite de la résistance à la flexion admise, indiquant que la poutre est au seuil de ce qui est acceptable.
b. Vérification de la Déformation
La déformation maximale (\(\delta\)) peut être vérifiée en utilisant la formule pour la flèche maximale sous une charge uniformément répartie pour une poutre simplement appuyée:
\[ \delta = \frac{5ql^4}{384EI} \]
\(E\) est le module d’élasticité du bois de pin, environ \(11000 \, \text{MPa}\) (ou \(11 \, \text{GPa}\)), et \(I\) est le moment d’inertie de la section, \(I = \frac{bh^3}{12}\) pour une section rectangulaire, avec \(b = 150 \, \text{mm}\) et \(h = 22.9 \, \text{cm}\) (ou \(229 \, \text{mm}\)).
Calculons \(I\):
\[ I = \frac{150 \times 229^3}{12} \] \[ I = \frac{150 \times 11910163}{12} \, \text{mm}^4 \] \[ I = 149377037.5 \, \text{mm}^4 \]
Puis, calculons \(\delta\) en considérant \(q = 7.0 \, \text{kN/m}\) (ou \(7000 \, \text{N/m}\)) et \(l = 6 \, \text{m}\):
\[ \delta = \frac{5 \times 7000 \times (6000)^4}{384 \times 11000 \times 149377037.5} \, \text{mm} \] \[ \delta \approx 7.06 \, \text{mm} \]
La déformation maximale trouvée est donc d’environ \(7.06 \, \text{mm}\), ce qui doit être comparé à la limite de déformation admissible pour le type de structure en question selon les normes de construction applicables.
Cette valeur de déformation semble généralement acceptable pour des structures résidentielles en bois, où une limite commune est une déformation maximale de \(l/360\), soit pour une poutre de 6 m, une déformation maximale admissible de \(\approx 16.67 \, \text{mm}\).
4. Analyse de la Sécurité avec Coefficients de Sécurité Eurocode
Majoration des Charges:
a. Charges Permanentes Majorées
Nous avons calculé précédemment une charge permanente par mètre linéaire de \(3.0 \, \text{kN/m}\).
En appliquant le coefficient de majoration :
- Charge permanente majorée :
\[ = 3.0 \, \text{kN/m} \times 1.35 \] \[ = 4.05 \, \text{kN/m} \]
b. Charges Variables Majorées
La charge variable par mètre linéaire était de \(4.0 \, \text{kN/m}\).
En appliquant le coefficient de majoration :
- Charge variable majorée :
\[ = 4.0 \, \text{kN/m} \times 1.5 \] \[ = 6.0 \, \text{kN/m} \]
c. Charge Totale Majorée par Mètre Linéaire
- Charge totale majorée par mètre linéaire :
\[ = 4.05 \, \text{kN/m} + 6.0 \, \text{kN/m} \] \[ = 10.05 \, \text{kN/m} \]
d. Charge Totale Majorée sur la Poutre
La longueur de la poutre étant de 6 mètres, la charge totale majorée sur la poutre est :
- Charge totale majorée sur la poutre :
\[ = 10.05 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} \] \[ = 60.3 \, \text{kN} \]
Calcul du Moment Maximal Majoré (\(M_{\text{majoré}}\))
Le moment maximal majoré pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée est calculé par :
\[ M_{\text{majoré}} = \frac{q_{\text{majoré}} \cdot l^2}{8} \] \[ M_{\text{majoré}} = \frac{10.05 \, \text{kN/m} \times (6 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{majoré}} = 45.225 \, \text{kNm} \]
Vérification de la Résistance avec Charge Majorée
En utilisant le module de résistance \(W\) calculé précédemment, nous pouvons vérifier si la contrainte de flexion avec la charge majorée dépasse la résistance à la flexion du bois de pin. La formule de la contrainte de flexion est :
\[ \sigma_{\text{majoré}} = \frac{M_{\text{majoré}}}{W} \]
Sachant que \(W = 1312.5 \, \text{cm}^3\) (ou \(1312500 \, \text{mm}^3\)) et que \(M_{\text{majoré}} = 45.225 \, \text{kNm}\) (ou \(45225000 \, \text{Nmm}\)),
Calculons :
\[ \sigma_{\text{majoré}} = \frac{45225000}{1312500} \] \[ \sigma_{\text{majoré}} = 34.45 \, \text{MPa} \]
Cela semble dépasser la résistance à la flexion admise de 24 MPa pour le bois de pin, suggérant que la poutre, avec les dimensions choisies, ne serait pas adéquate sous les charges majorées selon les coefficients de sécurité Eurocode.
Calcul d’une poutre en bois
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