Résonance d’une Poutre en Bois
Comprendre la Résonance d’une Poutre en Bois
Un ingénieur en structure est chargé de concevoir un auditorium en bois qui sera utilisé pour des concerts et des conférences.
Pour assurer le confort acoustique et la sécurité structurelle, il est crucial que les éléments structurels en bois, notamment les poutres de support du toit, soient conçus pour éviter la résonance à des fréquences pouvant être générées par la musique et la voix humaine.
Une poutre en bois clé, située sous le toit de l’auditorium, doit être analysée pour s’assurer qu’elle ne sera pas en résonance.
Données Fournies:
- Longueur de la poutre, L: 8 mètres
- Largeur de la poutre, b: 0,15 mètre
- Hauteur de la poutre, h: 0,25 mètre
- Masse volumique du bois, \(\rho\): 600 kg/m\(^3\)
- Module d’Young du bois, E: 11 GPa (Gigapascals)
- La poutre est simplement appuyée aux deux extrémités.
Questions:
1. Calcul de la masse de la poutre
- Utilisez la masse volumique \(\rho\) et les dimensions de la poutre pour calculer sa masse totale.
2. Calcul du moment d’inertie de la section transversale \(I\)
- Utilisez la largeur b et la hauteur h de la poutre pour calculer le moment d’inertie de sa section transversale.
3. Calcul de la fréquence fondamentale de résonance \(f_1\)
- Utilisez la formule de la fréquence fondamentale de résonance pour une poutre simplement appuyée chargée uniformément,
4. Analyse
- Discutez des implications de la fréquence de résonance calculée par rapport aux fréquences générées par la musique et la voix humaine (généralement de 20 Hz à 20 kHz). Considérez les mesures qui pourraient être prises pour modifier la fréquence de résonance si nécessaire.
Correction : Résonance d’une Poutre en Bois
1 Calcul de la masse de la poutre
Données fournies:
- Longueur (L) = 8 m
- Largeur (b) = 0,15 m
- Hauteur (h) = 0,25 m
- Masse volumique du bois (\(\rho\)) = 600 kg/m\(^3\)
Formule utilisée:
\[ M = \rho \times V \]
Calcul:
- Volume de la poutre (V)
\[ V = L \times b \times h \] \[ = 8 \, \text{m} \times 0,15 \, \text{m} \times 0,25 \, \text{m} \] \[ = 0,3 \, \text{m}^3 \]
- Masse de la poutre (M)
\[ M = \rho \times V \] \[ = 600 \, \text{kg/m}^3 \times 0,3 \, \text{m}^3 \] \[ = 180 \, \text{kg} \]
La masse totale de la poutre est de 180 kg.
2. Calcul du moment d’inertie de la section transversale (\(I\))
Données fournies:
- Largeur (b) = 0,15 m,
- Hauteur (h) = 0,25 m
Formule utilisée:
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
Calcul:
\[ I = \frac{0,15 \, \text{m} \times (0,25 \, \text{m})^3}{12} \] \[ I = 0,0001953125 \, \text{m}^4 \]
Le moment d’inertie de la section transversale de la poutre est de 0,0001953125 m\(^4\)
3. Calcul de la fréquence fondamentale de résonance (\(f_1\))
Données utilisées:
- Module d’Young (E) = 11 GPa (11e9 Pa)
- Moment d’inertie (I) = 0,0001953125 m\(^4\)
- Masse totale de la poutre = 180 kg
- Longueur de la poutre (L) = 8 m
Formule utilisée:
\[ f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{EI}{\mu L^4}} \]
Calcul:
- Masse linéique \(\mu\)
\[ \mu = \frac{\text{masse totale}}{\text{longueur de la poutre}} \] \[ \mu = \frac{180 \, \text{kg}}{8 \, \text{m}} \] \[ \mu = 22,5 \, \text{kg/m} \]
- Fréquence fondamentale de résonance \(f_1\)
\[ f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{11 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 0,0001953125 \, \text{m}^4}{22,5 \, \text{kg/m} \times (8 \, \text{m})^4}} \] \[ f_1 \approx 0,768 \, \text{Hz} \]
La fréquence fondamentale de résonance de la poutre est d’environ 0,768 Hz.
4. Analyse
La fréquence de résonance calculée de 0,768 Hz indique que la poutre est peu susceptible de résonner avec les fréquences générées par la musique et la voix humaine, qui se situent généralement entre 20 Hz et 20 kHz.
Cette fréquence est considérablement inférieure aux fréquences d’intérêt pour l’auditorium, minimisant le risque de résonance nuisible.
Toutefois, pour des applications où des vibrations ou des charges dynamiques pourraient approcher cette fréquence basse, des mesures telles que l’augmentation de la rigidité de la poutre ou l’intégration de systèmes d’amortissement pourraient être envisagées pour éviter les problèmes de résonance.
Résonance d’une Poutre en Bois
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