Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
Comprendre la Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
Vous êtes chargé de concevoir une poutre en bois pour une petite structure résidentielle. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie et vous devez vérifier sa résistance et sa rigidité conformément à Eurocode 5.
Pour comprendre le Calcul d’une poutre en bois, cliquez sur le lien.
Données:
- Matériau: Bois de résineux C24 (selon EN 338)
- Dimensions de la poutre: Longueur = 4 m, Largeur = 150 mm, Hauteur = 300 mm
- Charge: Charge permanente (G) = 1.5 kN/m, Charge variable (Q) = 3.0 kN/m
- Coefficient de sécurité: Selon Eurocode 0 (EN 1990)
Questions:
1. Calcul des Charges Combinées
Calculez la charge combinée en utilisant les coefficients de sécurité appropriés pour les charges permanentes et variables selon Eurocode 0.
2. Calcul de la Résistance en Flexion
Selon Eurocode 5, la résistance en flexion est déterminée en considérant la résistance caractéristique du bois en flexion \(f_{m,k}\) et appliquez les coefficients de modification appropriés.
3. Vérification de la Rigidité
La flèche maximale admissible \( \delta_{\text{max}} \) est basée sur la longueur de la poutre. Vérifiez ensuite la rigidité de la poutre en calculant la flèche sous la charge combinée et comparez-la avec \( \delta_{\text{max}} \)
4. Conclusion
Déterminez si la poutre choisie est adéquate en termes de résistance et de rigidité. Si elle ne l’est pas, proposez des modifications (par exemple, augmenter les dimensions de la poutre).
Correction : Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
1. Calcul des Charges Combinées
Les Eurocodes combinent les charges permanentes et variables en appliquant des coefficients de sécurité. La charge uniformément répartie combinée, notée \( w \), se calcule par :
\[ w = \gamma_G\,G + \gamma_Q\,Q \]
Données :
- \(G = 1.5\,\text{kN/m}\)
- \(Q = 3.0\,\text{kN/m}\)
- \(\gamma_G = 1.35, \quad \gamma_Q = 1.5\)
Calcul :
\[ w = 1.35 \times 1.5 + 1.5 \times 3.0 \] \[ w = 2.025 + 4.5 \] \[ w = 6.525\,\text{kN/m} \]
Résultat : La charge combinée est \( w = 6.525\,\text{kN/m} \).
2. Calcul de la Résistance en Flexion
Étape 2.1 : Calcul du moment maximum induit par la charge
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximum se trouve au centre et s’exprime par :
\[ M_{\text{max}} = \frac{w\,L^2}{8} \]
Données :
- \(w = 6.525\,\text{kN/m}\)
- \(L = 4\,\text{m}\)
Calcul :
\[ M_{\text{max}} = \frac{6.525 \times 4^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{6.525 \times 16}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{104.4}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 13.05\,\text{kN}\cdot\text{m} \]
Étape 2.2 : Vérification de la capacité en flexion de la poutre
a. Calcul de la section modulaire \( W \) :
Pour une section rectangulaire (pour flexion autour de l’axe fort), la section modulaire se calcule par :
\[ W = \frac{b\,h^2}{6} \]
Données :
- \(b = 150\,\text{mm}\)
- \(h = 300\,\text{mm}\)
Calcul :
\[ W = \frac{150 \times 300^2}{6} \] \[ W = \frac{150 \times 90\,000}{6} \] \[ W = \frac{13\,500\,000}{6} \] \[ W = 2\,250\,000\,\text{mm}^3 \]
b. Calcul de la résistance de conception en flexion \( f_{m,d} \) :
On applique le coefficient de modification et le facteur partiel pour obtenir la valeur de conception :
\[ f_{m,d} = \frac{k_{\text{mod}} \times f_{m,k}}{\gamma_M} \]
Données :
- \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
- \(f_{m,k} = 24\,\text{N/mm}^2\)
- \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ f_{m,d} = \frac{0.8 \times 24}{1.3} \] \[ f_{m,d} = \frac{19.2}{1.3} \approx 14.77\,\text{N/mm}^2 \]
c. Capacité en flexion de la poutre \( M_{Rd} \) :
La résistance en flexion est donnée par :
\[ M_{Rd} = f_{m,d} \times W \]
Calcul :
\[ M_{Rd} = 14.77\,\text{N/mm}^2 \times 2\,250\,000\,\text{mm}^3 \] \[ M_{Rd} = 33\,232\,500\,\text{N}\cdot\text{mm} \]
Pour convertir en kN\(\cdot\)m :
\[ 33\,232\,500\,\text{N}\cdot\text{mm} = \frac{33\,232\,500}{1\,000\,000} \approx 33.23\,\text{kN}\cdot\text{m} \]
Comparaison :
- Moment maximum induit : \( M_{\text{max}} = 13.05\,\text{kN}\cdot\text{m} \)
- Capacité en flexion : \( M_{Rd} \approx 33.23\,\text{kN}\cdot\text{m} \)
Conclusion de la vérification en flexion : \( M_{Rd} \) est bien supérieur à \( M_{\text{max}} \) ; la poutre est donc \textbf{adéquate en résistance en flexion}.
3. Vérification de la Rigidité (Contrôle de la Flèche)
Étape 3.1 : Calcul de la flèche sous charge
Pour une poutre simplement appuyée et soumise à une charge uniformément répartie, la flèche maximale est donnée par :
\[ \delta = \frac{5\,w\,L^4}{384\,E\,I} \]
Données :
- \( w = 6.525\,\text{kN/m} \). Pour travailler en unités cohérentes (mm et N), on rappelle que
\( 1\,\text{kN/m} = 1\,\text{N/mm} \) (car \( 1\,\text{kN/m} = \frac{1000\,\text{N}}{1000\,\text{mm}} \)),
donc \( w = 6.525\,\text{N/mm} \). - \( L = 4\,\text{m} = 4000\,\text{mm} \)
- \( E = 10\,000\,\text{N/mm}^2 \)
Calcul du moment d’inertie \( I \) de la section rectangulaire :
\[ I = \frac{b\,h^3}{12} \]
Données :
- \(b = 150\,\text{mm}\)
- \(h = 300\,\text{mm}\)
Calcul :
\[ I = \frac{150 \times 300^3}{12} \] \[ I = \frac{150 \times 27\,000\,000}{12} \] \[ I = \frac{4\,050\,000\,000}{12} \] \[ I = 337\,500\,000\,\text{mm}^4 \]
Calcul de la flèche \( \delta \) :
\[ \delta = \frac{5 \times 6.525 \times (4000)^4}{384 \times 10\,000 \times 337\,500\,000} \] \[ \delta = \frac{8.352 \times 10^{15}}{1.296 \times 10^{15}} \approx 6.44\,\text{mm} \]
Étape 3.2 : Vérification par rapport à la flèche admissible
La flèche maximale admissible \( \delta_{\text{max}} \) est souvent exprimée en fonction de la portée \( L \). Pour une poutre de structure résidentielle, on utilisera par exemple :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{L}{300} \]
Calcul :
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{4000\,\text{mm}}{300} \approx 13.33\,\text{mm} \]
Comparaison :
- Flèche calculée : \( \delta \approx 6.44\,\text{mm} \)
- Flèche admissible : \( \delta_{\text{max}} \approx 13.33\,\text{mm} \)
Conclusion sur la rigidité :
La flèche calculée est inférieure à la limite admissible, la poutre est donc suffisamment rigide.
4. Conclusion Générale
Résistance en flexion :
- Moment maximum induit : \( 13.05\,\text{kN}\cdot\text{m} \)
- Capacité en flexion de la poutre : \( 33.23\,\text{kN}\cdot\text{m} \)
\(\rightarrow\) La capacité en flexion dépasse largement le moment induit.
Rigidité (Flèche) :
- Flèche calculée : \( 6.44\,\text{mm} \)
- Flèche admissible : \( 13.33\,\text{mm} \)
\(\rightarrow\) La flèche est bien en deçà de la limite admissible.
La poutre proposée, de dimensions \(150 \times 300\,\text{mm}\) sur une portée de \(4\,\text{m}\) et soumise aux charges combinées \(6.525\,\text{kN/m}\), est adéquate tant en termes de résistance en flexion qu’en termes de rigidité.
Si, par exemple, la poutre ne satisfaisait pas l’une de ces vérifications, on pourrait envisager d’augmenter ses dimensions (notamment la hauteur, qui a une influence forte sur la résistance et la rigidité) ou de choisir un bois de qualité supérieure.
Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
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