Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
Comprendre la Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
Vous êtes chargé de concevoir une poutre en bois pour une petite structure résidentielle.
La poutre doit supporter une charge uniformément répartie et vous devez vérifier sa résistance et sa rigidité conformément à Eurocode 5.
Données
- Matériau: Bois de résineux C24 (selon EN 338)
- Dimensions de la poutre: Longueur = 4 m, Largeur = 150 mm, Hauteur = 300 mm
- Charge: Charge permanente (G) = 1.5 kN/m, Charge variable (Q) = 3.0 kN/m
- Coefficient de sécurité: Selon Eurocode 0 (EN 1990)
Tâches
- Calcul des Charges Combinées
Calculez la charge combinée en utilisant les coefficients de sécurité appropriés pour les charges permanentes et variables selon Eurocode 0. - Calcul de la Résistance en Flexion
Selon Eurocode 5, la résistance en flexion est déterminée en considérant la résistance caractéristique du bois en flexion \(f_{m,k}\) et appliquez les coefficients de modification appropriés. - Vérification de la Rigidité
La flèche maximale admissible \( \delta_{\text{max}} \) est basée sur la longueur de la poutre. Vérifiez ensuite la rigidité de la poutre en calculant la flèche sous la charge combinée et comparez-la avec \( \delta_{\text{max}} \) - Conclusion
Déterminez si la poutre choisie est adéquate en termes de résistance et de rigidité. Si elle ne l’est pas, proposez des modifications (par exemple, augmenter les dimensions de la poutre).
Correction : Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
1. Calcul des Charges Combinées
Données:
- Charge permanente (G) = 1.5 kN/m
- Charge variable (Q) = 3.0 kN/m
- Coefficients de sécurité: \(\gamma_G = 1.35, \gamma_Q = 1.5\)
Formule de la charge combinée:
La charge combinée est calculée comme suit:
\[ = G \times \gamma_G + Q \times \gamma_Q \]
Calcul:
\[ = 1.5 \, \text{kN/m} \times 1.35 + 3.0 \, \text{kN/m} \times 1.5 \] \[ = 2.025 \, \text{kN/m} + 4.5 \, \text{kN/m} \] \[ = 6.525 \, \text{kN/m} \]
La charge combinée à considérer pour la suite des calculs est de 6.525 kN/m.
2. Calcul de la Résistance en Flexion
Données:
- Résistance caractéristique en flexion du bois C24, \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
- Dimensions de la poutre: largeur \(b = 150 \, \text{mm}\), hauteur \(h = 300 \, \text{mm}\)
Conversion des unités:
- \( b = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m} \)
- \( h = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m} \)
Formule du moment de résistance:
Le moment de résistance est calculé par la formule suivante:
\[ M = \frac{f_{m,k} \times b \times h^2}{6} \]
Calcul:
\[ M = \frac{24 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 \times 0.15 \, \text{m} \times (0.3 \, \text{m})^2}{6} \] \[ M = 54,000 \, \text{Nm} \]
Le moment de résistance de la poutre est de 54 kNm.
3. Vérification de la Rigidité
Donnée:
- Module d’élasticité pour le bois C24, \(E = 11,000 \, \text{MPa} = 11 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
Calcul du moment d’inertie \(I\):
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \] \[ I = 0.0003375 \, \text{m}^4 \]
Flèche maximale admissible \(\delta_{max}\):
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{L}{250} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{4\,m}{250} \] \[ \delta_{max} = 0.016 \, \text{m} = 16 \, \text{mm} \]
Calcul de la flèche \(\delta\):
\[ \delta = \frac{5}{384} \cdot \frac{q \cdot L^4}{E \cdot I} \] \[ \delta = \frac{5}{384} \cdot \frac{6.525 \, \text{N/m} \times (4 \, \text{m})^4}{11 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 \times 0.0003375 \, \text{m}^4} \] \[ \delta = 5.86 \, \text{mm} \]
La flèche sous la charge combinée est de 5.86 mm, largement inférieure à la flèche maximale admissible de 16 mm.
4. Conclusion
La poutre en bois de résineux C24 avec les dimensions données satisfait aux exigences de résistance et de rigidité pour une charge combinée de 6.525 kN/m, conformément aux normes Eurocode.
Elle est donc adéquate pour l’application envisagée dans une petite structure résidentielle, sans nécessité de modifications supplémentaires.
Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois
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