Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Comprendre la Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Vous êtes chargé de concevoir une poutre en bois pour une petite structure résidentielle.

La poutre doit supporter une charge uniformément répartie et vous devez vérifier sa résistance et sa rigidité conformément à Eurocode 5.

Données

  • Matériau: Bois de résineux C24 (selon EN 338)
  • Dimensions de la poutre: Longueur = 4 m, Largeur = 150 mm, Hauteur = 300 mm
  • Charge: Charge permanente (G) = 1.5 kN/m, Charge variable (Q) = 3.0 kN/m
  • Coefficient de sécurité: Selon Eurocode 0 (EN 1990)

Tâches

  1. Calcul des Charges Combinées
    Calculez la charge combinée en utilisant les coefficients de sécurité appropriés pour les charges permanentes et variables selon Eurocode 0.
  2. Calcul de la Résistance en Flexion
    Selon Eurocode 5, la résistance en flexion est déterminée en considérant la résistance caractéristique du bois en flexion f_{m,k} et appliquez les coefficients de modification appropriés.
  3. Vérification de la Rigidité
    La flèche maximale admissible \delta_{\text{max}} est basée sur la longueur de la poutre. Vérifiez ensuite la rigidité de la poutre en calculant la flèche sous la charge combinée et comparez-la avec \delta_{\text{max}}
  4. Conclusion
    Déterminez si la poutre choisie est adéquate en termes de résistance et de rigidité. Si elle ne l’est pas, proposez des modifications (par exemple, augmenter les dimensions de la poutre).

Correction : Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

1. Calcul des Charges Combinées

Selon Eurocode 0 (EN 1990), la charge combinée est calculée comme suit:

Charge combinée = G \times \gamma_G + Q \times \gamma_Q

  • G est la charge permanente
  • Q est la charge variable
  • \gamma_G, \gamma_Q sont les coefficients de sécurité pour les charges permanentes et variables respectivement.

En prenant des valeurs typiques pour \gamma_G = 1.35 et \gamma_Q = 1.5, nous obtenons:

  • Charge combinée

= 1.5\, \text{kN/m} \times 1.35 + 3.0\, \text{kN/m} \times 1.5

    \[ = 2.025\, \text{kN/m} + 4.5\, \text{kN/m} \]

    \[ = 6.525\, \text{kN/m} \]

2. Calcul de la Résistance en Flexion

Pour un bois de résineux C24, la résistance caractéristique en flexion f_{m,k} est typiquement de l’ordre de 24 MPa.

Nous devons appliquer les coefficients de modification appropriés selon Eurocode 5. La résistance en flexion est calculée comme suit:

  • Moment de résistance

    \[ = \frac{f_{m,k} \times b \times h^2}{6} \]

Où  b est la largeur et h est la hauteur de la poutre.

    \[ = \frac{24 \, \text{MPa} \times 150 \times (300 \, \text{mm})^2}{6} \]

    \[ = \frac{24 \times 10^6 \times 150 \times 90000}{6} \, \text{Nmm} \]

    \[ = 54 \, \text{kNm} \]

3. Vérification de la Rigidité

La flèche maximale admissible \delta_{max} pour une poutre en bois est généralement \frac{L}{250}, où L est la longueur de la poutre.

    \[ \delta_{max} = \frac{4000 \, \text{mm}}{250} \]

    \[ \delta_{max} = 16 \, \text{mm} \]

Calcul de la flèche sous la charge combinée peut être complexe et dépend de la distribution de charge et des propriétés de rigidité de la poutre. Pour une charge uniformément répartie et une poutre simplement appuyée, la flèche peut être approximée par:

    \[ \delta = \frac{5}{384} \times \frac{q \times L^4}{E \times I} \]

  • q est la charge par unité de longueur
  • E est le module d’élasticité du bois
  • I est le moment d’inertie de la section.

Pour le bois de résineux C24, E est typiquement autour de 11000 MPa. Le moment d’inertie I pour une section rectangulaire est \frac{b \times h^3}{12}.

    \[ I = \frac{150 \times 300^3}{12} \, \text{mm}^4 \]

    \[ = 337500000 \, \text{mm}^4\]

Calculons la flèche:

\delta = \frac{5}{384} \times \frac{6525 \times 4000^4}{11000 \times 10^6 \times 337500000} \, \text{mm}

    \[ \delta = 0.00586 \, \text{mm} \]

La flèche calculée \delta est nettement inférieure à la flèche maximale admissible \delta_{\text{max}} \text{ de } 16 \, \text{mm}. Donc, la poutre est suffisamment rigide pour l’application envisagée.

4. Conclusion

La poutre choisie satisfait aux exigences de résistance et de rigidité pour les charges données et les dimensions spécifiées.

Elle est donc adéquate pour l’application envisagée. Si la poutre ne répondait pas aux critères, il faudrait envisager d’augmenter les dimensions de la poutre ou d’utiliser un matériau avec une meilleure résistance ou un module d’élasticité plus élevé.

Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

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