Calcul de la Capacité et Sécurité de la Nacelle
Comprendre le Calcul de la Capacité et Sécurité de la Nacelle
Vous êtes un ingénieur en charge de la sécurité sur un grand chantier de construction d’un pont. Une nacelle élévatrice doit être utilisée pour permettre aux ouvriers d’accéder à différentes hauteurs du pont. La nacelle peut se déplacer verticalement et horizontalement le long de la structure.
Vous devez vous assurer que la nacelle est utilisée en toute sécurité en prenant en compte le poids des ouvriers, leur équipement, et la portée de la nacelle.
Données:
- Poids maximum que la nacelle peut supporter : 500 kg
- Poids moyen d’un ouvrier : 80 kg
- Poids moyen de l’équipement par ouvrier : 20 kg
- Distance horizontale maximale de la base du pont jusqu’à la nacelle lorsqu’elle est complètement déployée : 15 mètres
- Hauteur maximale à laquelle la nacelle peut s’élever : 20 mètres
- La nacelle est fixée à un câble qui peut supporter une tension maximale de 2000 N
Questions:
- Calcul de la capacité maximale de la nacelle:
- Combien d’ouvriers, avec leur équipement, la nacelle peut-elle porter sans dépasser la charge maximale?
- Sécurité du câble:
- Si la nacelle est à sa hauteur maximale et à la distance horizontale maximale, calculez la tension dans le câble lorsqu’elle porte la charge maximale. Utilisez la formule de la tension dans un câble incliné.
- Supposons que la force horizontale est directement proportionnelle à la distance horizontale avec une constante de proportionnalité de 10 N/m.
- Recommandation de sécurité:
- En supposant que le facteur de sécurité pour le câble doit être au moins de 3 (la tension maximale réelle devrait être au moins trois fois inférieure à la tension maximale supportable par le câble), déterminez si l’utilisation actuelle de la nacelle est sûre ou non. Si non, proposez des mesures correctives.
Correction : Calcul de la Capacité et Sécurité de la Nacelle
1. Calcul de la capacité maximale de la nacelle
Données:
- Poids maximum que la nacelle peut supporter : 500 kg
- Poids moyen d’un ouvrier : 80 kg
- Poids moyen de l’équipement par ouvrier : 20 kg
Calcul:
- Nombre maximal d’ouvriers
\[ = \left\lfloor \frac{\text{Poids maximum supportable}}{\text{Poids total par ouvrier}} \right\rfloor \] \[ = \left\lfloor \frac{500 \, \text{kg}}{80 \, \text{kg} + 20 \, \text{kg}} \right\rfloor \] \[ = \left\lfloor \frac{500 \, \text{kg}}{100 \, \text{kg}} \right\rfloor \] \[ = 5 \]
La nacelle peut transporter un maximum de 5 ouvriers avec leur équipement sans dépasser la charge maximale.
2. Sécurité du câble
Données supplémentaires:
- Distance horizontale maximale : 15 m
- Hauteur maximale : 20 m
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul de la force horizontale :
La force horizontale \(F_h\) devrait idéalement être calculée en considérant l’angle que fait le câble avec l’horizontale.
Avec les données disponibles, nous pouvons utiliser les valeurs de la hauteur et de la distance horizontale pour déterminer l’angle.
L’angle \(\theta\) avec l’horizontale peut être trouvé par:
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{Hauteur}}{\text{Distance horizontale}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{20 \, \text{m}}{15 \, \text{m}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{4}{3} \] \[ \theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \]
La force horizontale est alors:
\[ F_h = m g \sin(\theta) \]
\[ \sin(\theta) = \frac{4}{5} \quad (\text{car } \cos(\theta) = \frac{3}{5} \text{ pour un triangle 5-3-4}) \]
\[ F_h = 500 \times 9.81 \times 0.8 \] \[ F_h = 3924 \, \text{N} \]
Calcul de la tension dans le câble:
\[ T = \sqrt{(mg)^2 + (F_h)^2} \] \[ T = \sqrt{(500 \times 9.81)^2 + (3924)^2} \] \[ T = \sqrt{(4905)^2 + 3924^2} \] \[ T = \sqrt{24084025 + 15397976} \] \[ T = \sqrt{39482001} \] \[ T \approx 6283.5 \, \text{N} \]
3. Recommandation de sécurité
Données:
- Tension maximale supportable par le câble : 2000 N
- Facteur de sécurité requis : 3
Calcul du facteur de sécurité actuel:
- Facteur de sécurité actuel
\[ = \frac{\text{Tension maximale supportable}}{\text{Tension réelle}} \] \[ = \frac{2000}{6283.5} \] \[ \approx 0.32 \]
Analyse et mesures :
Le facteur de sécurité de 0.32 est largement inférieur au minimum requis de 3, indiquant que l’utilisation de la nacelle n’est pas sûre.
Pour corriger cela:
- Réduire la charge ou le nombre d’ouvriers transportés pour diminuer \(m\) et donc \(T\).
- Utiliser un câble plus résistant capable de supporter une plus grande tension.
- Restreindre l’utilisation à des distances horizontales plus courtes pour diminuer \(F_h\).
Calcul de la Capacité et Sécurité de la Nacelle
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