Forces de poussée et moment agissant

Forces de poussée et moment agissant (théorie de Rankine)

Comprendre les forces de poussée et moment agissant au bas d’un mur (théorie de Rankine)

Soit un mur de soutènement de hauteur h, retournant de la terre sur son côté gauche. La surface derrière le mur est plane.

Les caractéristiques du sol sont données par son angle de frottement interne \phi et sa masse volumique apparente \gamma. Le mur a un frottement à sa base avec le sol décrit par l’angle \delta.

Données :

    \begin{align*}h & = 5 \text{ m} \\\phi & = 30^\circ \\\gamma & = 18 \text{ kN/m}^3 \\\delta & = 20^\circ\end{align*}

Questions:

1. Poussée de terre active (Ea) selon Rankine:
Utilisez la théorie de Rankine pour déterminer la poussée de terre active maximale au bas du mur.

2. Position de la ligne d’action de la poussée active:
Calculez la distance z du bas du mur au point d’application de la force de poussée active.

3. Moment agissant au bas du mur:
Calculez le moment exercé par la poussée active au bas du mur.

Correction Forces de poussée et moment agissant(théorie de Rankine)

1. Poussée de terre active (Ea) selon Rankine:

Pour déterminer la poussée de terre active, nous allons d’abord calculer le coefficient de poussée de terre actif K_a.

La formule est donnée par:

    \[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi}{2}\right) \]

\phi = 30^\circ. Ainsi,

    \[ K_a = \tan^2(45^\circ - 15^\circ) \]

    \[ K_a = \tan^2(30^\circ) \]

ce qui donne:

    \[ K_a \approx 0.577 \]

En utilisant la formule de la poussée active:

    \[ Ea = \frac{1}{2} \gamma h^2 \left( K_a - K_a \tan(\delta) \right) \]

\gamma = 18 \text{ kN/m³}, h = 5 \text{ m} et \delta = 20^\circ, on obtient:

Ea = \frac{1}{2} \times 18 \times 5^2 \left( 0.577 - 0.577 \tan(20^\circ) \right)

soit:

    \[ Ea \approx 83 \text{ kN/m} \]

2. Position de la ligne d’action de la poussée active:

En utilisant la formule:

    \[ z = \frac{h}{3} \left(1 + \frac{\delta}{\phi}\right) \]

h = 5 \text{ m}, \delta = 20^\circ et \phi = 30^\circ, on obtient:

    \[ z \approx 2.5 \text{ m} \]

3. Moment agissant au bas du mur:

En utilisant la formule:

    \[ M = Ea \times z \]

on obtient:

    \[ M \approx 207.5 \text{ kN.m} \]

Résumé des résultats:

Poussée de terre active, Ea: 83 kN/m
Position de la ligne d’action de la poussée active, z: 2.5 m
Moment agissant au bas du mur, M: 207.5 kN.m

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