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Calcul de la force de renversement d’un mur

Calcul de la force de renversement d’un mur

Comprendre le Calcul de la force de renversement d’un mur

Un ingénieur géotechnique est chargé d’évaluer la stabilité d’un mur de soutènement qui retient un talus de terre. Le mur est soumis à diverses charges et contraintes dues au sol qu’il retient. L’objectif principal de cet exercice est de calculer la force de renversement qui s’applique sur le mur, afin de déterminer si le mur est suffisamment stable ou s’il nécessite des mesures de renforcement.

Comprendre comment Vérifier le renversement d’un mur, cliquez sur le lien.

Données Fournies:

  • Hauteur du mur de soutènement, H: 6 mètres.
  • Largeur du mur (épaisseur), B: 0.5 mètre.
  • Densité du sol, \gamma: 18 kN/m³.
  • Angle de frottement interne du sol, \phi: 30°.
  • Cohésion du sol, C: 10 kPa.
  • Poids spécifique du béton (pour le mur), \gamma_c: 23.5 kN/m³.
  • Angle de talus naturel, \beta: 25°.
Calcul de la force de renversement d’un mur

Question:

Calculer la force de renversement exercée sur le mur de soutènement, assumez une longueur du mur de 1 mètre (perpendiculaire au plan du papier).

Correction : Calcul de la force de renversement d’un mur

1. Calcul du coefficient de pression active K_a

Pour un sol sans inclinaison du mur et en supposant que l’on se place dans le cas « actif », le coefficient de pression active s’exprime par la formule :

K_a = \tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right)

Données :
  • Angle de frottement interne du sol, \varphi = 30^\circ.
Calcul :

K_a = \tan^2\left(45^\circ – \frac{30^\circ}{2}\right) K_a = \tan^2(45^\circ – 15^\circ) K_a = \tan^2(30^\circ)

Sachant que \tan(30^\circ) \approx 0.57735, alors

K_a \approx (0.57735)^2 \approx 0.3333

2. Détermination de la profondeur d’annulation de la pression (due à la cohésion)

La pression active avec cohésion est donnée par :

p(z) = K_a\, \gamma\, z – 2\,\sqrt{K_a}\, C

Cependant, une pression négative (tension) n’est pas réalisable en mécanique des sols. Il faut donc déterminer la profondeur z_0 à partir de laquelle la pression devient positive (ou nulle) :

p(z_0) = 0 \quad \Longrightarrow \quad K_a\, \gamma\, z_0 – 2\,\sqrt{K_a}\, C = 0

Données :
  • K_a \approx 0.3333
  • Densité du sol, \gamma = 18\; \text{kN/m}^3
  • Cohésion du sol, C = 10\; \text{kPa} \; (= 10\; \text{kN/m}^2)
Calcul :

On résout pour z_0 :

z_0 = \frac{2\,\sqrt{K_a}\, C}{K_a\, \gamma}

En substituant :

  • \sqrt{K_a} \approx \sqrt{0.3333} \approx 0.57735
  • K_a \approx 0.3333

z_0 = \frac{2 \times 0.57735 \times 10}{0.3333 \times 18} z_0 = \frac{11.547}{6.0} z_0 \approx 1.9245\; \text{m}

3. Calcul de la force de renversement F

La force totale résultante due à la pression latérale s’obtient en intégrant la pression effective sur la hauteur effective du mur, c’est-à-dire de z_0 à H (la partie supérieure, où z < z_0, la pression est nulle) :

F = \int_{z_0}^{H} \left[K_a\, \gamma\, z – 2\,\sqrt{K_a}\, C \right] dz

Ce qui se décompose en deux intégrales :

F = K_a\, \gamma\, \int_{z_0}^{H} z\, dz – 2\,\sqrt{K_a}\, C\, \int_{z_0}^{H} dz

Les intégrales sont :

  • \int_{z_0}^{H} z\, dz = \frac{1}{2}\left(H^2 – z_0^2\right)
  • \int_{z_0}^{H} dz = H – z_0

Ainsi, la formule devient :

F = \frac{1}{2}\, K_a\, \gamma\, \left(H^2 – z_0^2\right) – 2\,\sqrt{K_a}\, C\, (H – z_0)

Données :
  • Hauteur du mur, H = 6\; \text{m}
  • z_0 \approx 1.9245\; \text{m}
  • K_a \approx 0.3333
  • \gamma = 18\; \text{kN/m}^3
  • \sqrt{K_a} \approx 0.57735
  • C = 10\; \text{kN/m}^2
Calcul détaillé :

1. Calcul de H^2 – z_0^2 :

H^2 – z_0^2 = 6^2 – (1.9245)^2 = 36 – 3.703 \approx 32.297\; \text{m}^2

2. Premier terme :

\frac{1}{2}\, K_a\, \gamma = \frac{1}{2} \times 0.3333 \times 18 = 0.5 \times 6 = 3.0\; \text{kN/m}^2

Donc,

\frac{1}{2}\, K_a\, \gamma\, (H^2 – z_0^2) = 3.0 \times 32.297 \approx 96.891\; \text{kN/m}

3. Deuxième terme :

H – z_0 = 6 – 1.9245 \approx 4.0755\; \text{m}

2\,\sqrt{K_a}\, C = 2 \times 0.57735 \times 10 \approx 11.547\; \text{kN/m}^2

Donc,

2\,\sqrt{K_a}\, C\, (H – z_0) \approx 11.547 \times 4.0755 \approx 47.085\; \text{kN/m}

4. Force résultante F :

F = 96.891 – 47.085 F \approx 49.806\; \text{kN/m}

Remarque :
Ici, la force calculée est par mètre de longueur du mur (la longueur perpendiculaire au plan du papier étant supposée égale à 1 mètre).

Conclusion

La force de renversement exercée sur le mur de soutènement, pour une longueur de 1 mètre, est d’environ 49.81 kN.

Calcul de la force de renversement d’un mur

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