Calcul de la force de renversement d’un mur

Comprendre le Calcul de la force de renversement d’un mur

Un ingénieur géotechnique est chargé d’évaluer la stabilité d’un mur de soutènement qui retient un talus de terre. Le mur est soumis à diverses charges et contraintes dues au sol qu’il retient. L’objectif principal de cet exercice est de calculer la force de renversement qui s’applique sur le mur, afin de déterminer si le mur est suffisamment stable ou s’il nécessite des mesures de renforcement.

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Données Fournies:

Hauteur du mur de soutènement, \(H\): 6 mètres.
Largeur du mur (épaisseur), \(B\): 0.5 mètre.
Densité du sol, \(\gamma\): 18 kN/m³.
Angle de frottement interne du sol, \(\phi\): 30°.
Cohésion du sol, \(C\): 10 kPa.
Poids spécifique du béton (pour le mur), \(\gamma_c\): 23.5 kN/m³.
Angle de talus naturel, \(\beta\): 25°.

Calcul de la force de renversement d’un mur

Question:

Calculer la force de renversement exercée sur le mur de soutènement, assumez une longueur du mur de 1 mètre (perpendiculaire au plan du papier).

Correction : Calcul de la force de renversement d’un mur

1. Calcul du coefficient de pression active \(K_a\)

Pour un sol sans inclinaison du mur et en supposant que l’on se place dans le cas « actif », le coefficient de pression active s’exprime par la formule :

\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ – \frac{\varphi}{2}\right) \]

Données :

Angle de frottement interne du sol, \(\varphi = 30^\circ\).

Calcul :

\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ – \frac{30^\circ}{2}\right) \] \[ K_a = \tan^2(45^\circ – 15^\circ) \] \[ K_a = \tan^2(30^\circ) \]

Sachant que \(\tan(30^\circ) \approx 0.57735\), alors

\[ K_a \approx (0.57735)^2 \approx 0.3333 \]

2. Détermination de la profondeur d’annulation de la pression (due à la cohésion)

La pression active avec cohésion est donnée par :

\[ p(z) = K_a\, \gamma\, z – 2\,\sqrt{K_a}\, C \]

Cependant, une pression négative (tension) n’est pas réalisable en mécanique des sols. Il faut donc déterminer la profondeur \(z_0\) à partir de laquelle la pression devient positive (ou nulle) :

\[ p(z_0) = 0 \quad \Longrightarrow \quad K_a\, \gamma\, z_0 – 2\,\sqrt{K_a}\, C = 0 \]

Données :

\(K_a \approx 0.3333\)
Densité du sol, \(\gamma = 18\; \text{kN/m}^3\)
Cohésion du sol, \(C = 10\; \text{kPa} \; (= 10\; \text{kN/m}^2)\)

Calcul :

On résout pour \(z_0\) :

\[ z_0 = \frac{2\,\sqrt{K_a}\, C}{K_a\, \gamma} \]

En substituant :

\(\sqrt{K_a} \approx \sqrt{0.3333} \approx 0.57735\)
\(K_a \approx 0.3333\)

\[ z_0 = \frac{2 \times 0.57735 \times 10}{0.3333 \times 18} \] \[ z_0 = \frac{11.547}{6.0} \] \[ z_0 \approx 1.9245\; \text{m} \]

3. Calcul de la force de renversement \(F\)

La force totale résultante due à la pression latérale s’obtient en intégrant la pression effective sur la hauteur effective du mur, c’est-à-dire de \(z_0\) à \(H\) (la partie supérieure, où \(z < z_0\), la pression est nulle) :

\[ F = \int_{z_0}^{H} \left[K_a\, \gamma\, z – 2\,\sqrt{K_a}\, C \right] dz \]

Ce qui se décompose en deux intégrales :

\[ F = K_a\, \gamma\, \int_{z_0}^{H} z\, dz – 2\,\sqrt{K_a}\, C\, \int_{z_0}^{H} dz \]

Les intégrales sont :

\(\int_{z_0}^{H} z\, dz = \frac{1}{2}\left(H^2 – z_0^2\right)\)
\(\int_{z_0}^{H} dz = H – z_0\)

Ainsi, la formule devient :

\[ F = \frac{1}{2}\, K_a\, \gamma\, \left(H^2 – z_0^2\right) – 2\,\sqrt{K_a}\, C\, (H – z_0) \]

Données :

Hauteur du mur, \(H = 6\; \text{m}\)
\(z_0 \approx 1.9245\; \text{m}\)
\(K_a \approx 0.3333\)
\(\gamma = 18\; \text{kN/m}^3\)
\(\sqrt{K_a} \approx 0.57735\)
\(C = 10\; \text{kN/m}^2\)

Calcul détaillé :

1. Calcul de \(H^2 – z_0^2\) :

\[ H^2 – z_0^2 = 6^2 – (1.9245)^2 \] \[ = 36 – 3.703 \approx 32.297\; \text{m}^2 \]

2. Premier terme :

\[ \frac{1}{2}\, K_a\, \gamma = \frac{1}{2} \times 0.3333 \times 18 \] \[ = 0.5 \times 6 = 3.0\; \text{kN/m}^2 \]

Donc,

\[ \frac{1}{2}\, K_a\, \gamma\, (H^2 – z_0^2) = 3.0 \times 32.297 \approx 96.891\; \text{kN/m} \]

3. Deuxième terme :

\[ H – z_0 = 6 – 1.9245 \approx 4.0755\; \text{m} \]

\[ 2\,\sqrt{K_a}\, C = 2 \times 0.57735 \times 10 \] \[ \approx 11.547\; \text{kN/m}^2 \]

Donc,

\[ 2\,\sqrt{K_a}\, C\, (H – z_0) \approx 11.547 \times 4.0755 \] \[ \approx 47.085\; \text{kN/m} \]

4. Force résultante \(F\) :

\[ F = 96.891 – 47.085 \] \[ F \approx 49.806\; \text{kN/m} \]

Remarque :
Ici, la force calculée est par mètre de longueur du mur (la longueur perpendiculaire au plan du papier étant supposée égale à 1 mètre).