Contrôle de la Fissuration d’une Poutre
Comprendre le contrôle de la Fissuration d’une Poutre
En tant qu’ingénieur en construction, vous êtes chargé d’évaluer la durabilité et la sécurité d’une poutre en béton armé exposée à des conditions environnementales classées XC3 selon l’Eurocode 2.
Votre objectif principal est de calculer et de vérifier la largeur maximale des fissures pour s’assurer que la structure reste dans les limites de sécurité et de performance définies par les normes européennes.
Objectif:
Calculer la largeur maximale des fissures dans une poutre en béton armé pour vérifier sa conformité aux exigences de l’Eurocode 2.
Pour comprendre le Ferraillage transversal d’une poutre, cliquez sur le lien.
Données de l’Exercice:
– Dimensions de la poutre:
- Longueur : 8 mètres
- Largeur : 300 mm
- Hauteur : 500 mm
– Matériaux:
- Béton : C25/30
- Acier d’armature : B500B
– Charges:
- Charge permanente (G) : 25 kN/m
- Charge variable (Q) : 15 kN/m
– Conditions environnementales:
- Classe d’exposition : XC3
Données pour le Calcul de fissure:
– Espacement des Armatures, \( s_r \):
- Valeur: \( s_r = 0.2 \) m, Basé sur les limites prescrites par l’Eurocode pour le contrôle de la fissuration.
– Déformation Moyenne de l’Acier, \( \epsilon_{sm} \):
- Valeur: \( \epsilon_{sm} = 0.2\% \) (ou \( 2 \times 10^{-3} \)), Estimation typique utilisée pour simplifier les évaluations initiales, reflétant une contrainte proche de la limite élastique de l’acier.
– Déformation du Béton au Niveau de l’Acier, \( \epsilon_{cm} \)}:
- Valeur: \( \epsilon_{cm} = 0 \), Négligée dans ce calcul pour simplifier, supposant une contribution minime au total de la déformation au niveau des fissures.
Questions:
1. Déterminer les moments fléchissants maximaux:
- Utilisez la théorie des poutres pour calculer les moments dus aux charges permanentes et variables.
2. Choix et disposition des armatures:
- Vous devez travailler avec des barres d’armature de 16 mm de diamètre, espacées de 200 mm. Vérifiez si cette configuration peut résister aux moments calculés.
3. Calcul de la fissuration:
- Calculez la contrainte dans l’acier à l’aide de l’Eurocode 2.
- Déterminez la largeur de fissure admissible en fonction de la classe d’exposition et du type de structure.
- Utilisez la formule de l’Eurocode 2 pour calculer la largeur de fissure.
Vérifiez si la largeur de fissure calculée est inférieure à la valeur limite spécifiée par l’Eurocode pour la classe d’exposition donnée. Si ce n’est pas le cas, proposez des modifications dans la conception de l’armature.
Correction : contrôle de la Fissuration d’une Poutre
1. Détermination des Moments Fléchissants Maximaux
Formule :
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal, \(M\), se calcule comme suit
\[ M = \frac{w \times l^2}{8} \]
où \( w \) est la charge totale par unité de longueur (G + Q) et \( l \) est la longueur de la poutre.
Calculs :
- \(w = G + Q = 25 \, \text{kN/m} + 15 \, \text{kN/m} = 40 \, \text{kN/m}\)
- \( l = 8 \, \text{m}\)
– Moment fléchissant maximal :
\[ M = \frac{40 \, \text{kN/m} \times (8 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M = 320 \, \text{kNm} \]
2. Choix et Disposition des Armatures
Formule de l’aire nécessaire des armatures \( A_s \) :
\[ A_s = \frac{M \times 10^6}{0.87 \times f_y \times d} \]
où :
- \(f_y = 500 \, \text{MPa} \quad (\text{résistance caractéristique de l’acier B500B})\)
- \(d = 450 \, \text{mm} \quad (\text{distance utile})\)
Calcul de l’aire des armatures \( A_s \) :
\[ A_s = \frac{320 \times 10^6 \, \text{Nmm}}{0.87 \times 500 \, \text{MPa} \times 450 \, \text{mm}} \] \[ A_s \approx 1653 \, \text{mm}^2 \]
Vérification avec les armatures choisies :
- \(\text{Diamètre d’une barre d’armature : 16 mm}\)
Aire d’une barre \(A_{16}\):
\[ A_{16} = \pi \times \left(\frac{16}{2}\right)^2 \] \[ A_{16} \approx 201 \, \text{mm}^2 \]
Nombre de barres nécessaires :
\[ n = \frac{A_s}{A_{16}} \] \[ n = \frac{1653 \, \text{mm}^2}{201 \, \text{mm}^2} \] \[ n \approx 8.2 \]
Arrondi à 9 barres pour une distribution uniforme sur la longueur de 8 m.
3. Calcul de la Fissuration
Formule de la largeur de fissure \( w_k \) :
\[ w_k = s_r \times (\epsilon_{sm} – \epsilon_{cm}) \]
où :
- \(s_r = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m}\)
- \(\epsilon_{sm} = 2 \times 10^{-3} \quad (0.2\%)\)
- \(\epsilon_{cm} = 0\)
Calcul de la largeur de fissure :
\[ w_k = 0.2 \, \text{m} \times (2 \times 10^{-3} – 0) \] \[ w_k = 0.0004 \, \text{m} \] \[ w_k = 0.4 \, \text{mm} \]
Propositions pour la Modification de la Conception
Pour respecter la limite de largeur de fissure de 0.3 mm imposée par l’Eurocode pour la classe d’exposition XC3, plusieurs ajustements dans la conception des armatures peuvent être envisagés:
A. Réduction de l’espacement entre les armatures
Réduire l’espacement des barres à 150 mm au lieu de 200 mm:
- Cela augmente la fréquence des barres d’armature, réduisant ainsi la probabilité et la largeur des fissures.
- Nouveau calcul pour l’espacement \(s_r = 150\, \text{mm} = 0.15\, \text{m}\).
Réévaluation de la largeur de fissure \(w_k\) avec le nouvel espacement:
\[ w_k = 0.15\, \text{m} \times 2 \times 10^{-3} \] \[ w_k = 0.0003\, \text{m} = 0.3\, \text{mm} \]
Cela correspond à la limite maximale admissible et peut être acceptable selon la précision des calculs et les conditions de sécurité supplémentaires souhaitées.
B. Augmentation du diamètre des barres d’armature
Utilisation de barres de 20 mm au lieu de 16 mm:
- Aire d’une barre de 20 mm \(A_{20}\):
\[ A_{20} = \pi \times \left(\frac{20}{2}\right)^2 \] \[ A_{20} \approx 314\, \text{mm}^2 \]
- Vérification du nombre de barres nécessaires avec le même espacement (200 mm):
\[ n = \frac{1653\, \text{mm}^2}{314\, \text{mm}^2} \] \[ n \approx 5.3 \]
Arrondi à 6 barres pour une distribution uniforme.
Impact sur la largeur de fissure avec le diamètre augmenté:
Les barres plus épaisses améliorent la capacité de la section à contrôler la largeur des fissures grâce à une meilleure liaison entre l’acier et le béton, réduisant potentiellement davantage la largeur des fissures.
C. Combiner les modifications
Utiliser un espacement réduit (150 mm) et un diamètre augmenté (20 mm) :
- Cette combinaison offre une réduction maximale possible de la largeur des fissures, optimisant à la fois la fréquence et la capacité de résistance des armatures.
Évaluation finale de la largeur de fissure avec les deux ajustements :
Il faudrait recalculer la déformation de l’acier \(\epsilon_{sm}\) en prenant en compte le nouveau diamètre et les propriétés de l’acier.
Contrôle de la Fissuration d’une Poutre
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