Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

Comprendre le Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

Vous êtes un ingénieur civil chargé de concevoir un pont au-dessus d’une rivière. Le pont doit résister à la force exercée par l’écoulement de l’eau, en particulier lors de crues annuelles.

Pour cela, il est essentiel de calculer la quantité de mouvement de l’écoulement de la rivière qui agit sur les piles du pont afin d’assurer sa stabilité et sa sécurité.

Données :

  • La largeur de la rivière est de 50 mètres.
  • La profondeur moyenne de l’eau est de 3 mètres.
  • La vitesse moyenne de l’écoulement de l’eau est de 2 m/s.
  • La densité de l’eau est de \(1000 \, \text{kg/m}^3\).

Objectif :

Calculer la force totale exercée par l’écoulement de la rivière sur une pile du pont, en considérant que la pile a une largeur frontale de 2 mètres perpendiculaire à l’écoulement. Utilisez le principe de la quantité de mouvement pour effectuer ce calcul.

Questions :

1. Calculez l’aire de la section transversale de l’écoulement qui interagit avec la pile.

2. Utilisez cette aire et les autres données fournies pour calculer la quantité de mouvement de l’eau.

3. En déduire la force exercée sur la pile du pont.

Correction : Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

1. Calcul de l’Aire de la Section Transversale (A)

L’aire de la section transversale \(A\) à travers laquelle l’eau s’écoule et interagit avec la pile est donnée par la largeur de la pile multipliée par la profondeur de l’eau.

\[ A = \text{largeur de la pile} \times \text{profondeur de l’eau} \] \[ A = 2\,m \times 3\,m \] \[ A = 6\,m^2 \]

2. Calcul de la Quantité de Mouvement (\(Q_m\)) de l’Eau

La quantité de mouvement d’un fluide en mouvement, pour un intervalle de temps donné, est égale à la masse du fluide multipliée par sa vitesse.

Pour le débit de quantité de mouvement (qui est ce qui nous intéresse ici), nous utilisons :

\[ Q_m = \rho \cdot A \cdot V \]

Substituons les valeurs données :

\[ Q_m = 1000\,\text{kg/m}^3 \times 6\,\text{m}^2 \times 2\,\text{m/s} \] \[ Q_m = 12,000\,\text{kg}\cdot\text{m/s} \]

Cette valeur représente le débit de quantité de mouvement de l’eau qui interagit avec la pile chaque seconde.

3. Force Exercée sur la Pile du Pont

La force exercée par l’écoulement de l’eau sur la pile, en l’absence d’un changement dans la direction ou la vitesse de l’écoulement (c’est-à-dire un écoulement stationnaire), peut être déterminée par le taux de changement de la quantité de mouvement.

Dans ce cas, la force peut être directement assimilée au débit de quantité de mouvement puisque ce débit est constant :

\[ F = Q_m \]

Ainsi, la force exercée sur la pile est :

\[ F = 12,000\,N \]

Conclusion

La force totale exercée par l’écoulement de la rivière sur une pile du pont est de 12,000 Newtons.

Cette information est cruciale pour la conception du pont, assurant qu’il puisse résister à la pression exercée par l’écoulement de l’eau, surtout lors de conditions extrêmes comme des crues.

Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

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