Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Comprendre l’Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Considérons un écoulement irrotationnel bidimensionnel et incompressible autour d’un cylindre de rayon \(R\), placé dans un fluide (eau) qui s’écoule avec une vitesse uniforme \(U\) à l’infini.

L’objectif est de déterminer la distribution de la pression autour du cylindre et de calculer la force de traînée exercée par l’écoulement sur le cylindre.

Données:

  • Rayon du cylindre, \(R = 0.5 \, \text{m}\)
  • Vitesse de l’écoulement à l’infini, \(U = 10 \, \text{m/s}\)
  • Densité de l’eau, \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Pression atmosphérique, \(P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\)

Hypothèses:

  • Écoulement irrotationnel et incompressible.
  • Effets de la viscosité négligeables.
  • Écoulement bidimensionnel.

Travail demandé:

1. Calcul de la fonction de courant \(\Psi\) et du potentiel de vitesse \(\Phi\):

  • Utilisez les définitions de la fonction de courant et du potentiel de vitesse pour un écoulement irrotationnel autour d’un cylindre.

2. Détermination de la distribution de vitesse autour du cylindre:

  • Exprimez la vitesse tangentielle \(V_{\theta}\) en fonction de l’angle polaire \(\theta\).

3. Calcul de la distribution de pression autour du cylindre:

Utilisez l’équation de Bernoulli pour calculer la pression \(P\) en tout point sur la surface du cylindre, en fonction de l’angle \(\theta\)

4. Calcul de la force de traînée \(D\) exercée par l’écoulement sur le cylindre:

  • Intégrez la distribution de pression sur la surface du cylindre pour trouver la force de traînée. Considérez également le théorème de Blasius pour un écoulement irrotationnel.

Correction : Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

1. Fonction de Courant et Potentiel de Vitesse

La fonction de courant \(\Psi\) et le potentiel de vitesse \(\Phi\) pour un écoulement irrotationnel autour d’un cylindre sont donnés par :

  • \(\Psi = U \left(r – \frac{R^2}{r}\right) \sin(\theta)\)
  • \(\Phi = U \left(r + \frac{R^2}{r}\right) \cos(\theta)\)

Avec \(R = 0.5\) m et \(U = 10\) m/s, substituons les valeurs :

  • \(\Psi = 10 \left(r – \frac{0.25}{r}\right) \sin(\theta)\)
  • \(\Phi = 10 \left(r + \frac{0.25}{r}\right) \cos(\theta)\)

2. Vitesse Tangentielle \(V_{\theta}\)

La vitesse tangentielle sur la surface du cylindre est déterminée par :

\[V_{\theta} = \frac{2U \sin(\theta)}{R}\]

En substituant \(U = 10\) m/s et \(R = 0.5\) m :

\[V_{\theta} = \frac{2 \times 10 \sin(\theta)}{0.5} \] \[V_{\theta} = 40 \sin(\theta) \, \text{m/s}\]

3. Distribution de Pression

L’équation de Bernoulli, entre un point à l’infini et un point sur la surface du cylindre, pour calculer la pression \(P\) en fonction de \(\theta\) est :

\[P + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2} \rho U^2\]

En substituant \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\), \(U = 10\) m/s, et \(P_{\text{atm}} = 101325\) Pa :

\[P + \frac{1}{2} \times 1000 \times (40 \sin(\theta))^2 = 101325 + \frac{1}{2} \times 1000 \times 10^2\] \[P = 101325 + 5000 – 80000 \sin^2(\theta)\]

4. Force de Traînée

La force de traînée pour un écoulement irrotationnel autour d’un cylindre, en théorie, est nulle selon le paradoxe de D’Alembert.

Cela signifie que, malgré la distribution de pression autour du cylindre, la traînée nette résultante est nulle due à la symétrie de l’écoulement et l’absence de viscosité dans l’hypothèse d’irrotationalité.

Résumé des Résultats :

  • Fonction de courant : \(\Psi = 10 \left(r – \frac{0.25}{r}\right) \sin(\theta)\)
  • Potentiel de vitesse : \(\Phi = 10 \left(r + \frac{0.25}{r}\right) \cos(\theta)\)
  • Vitesse tangentielle : \(V_{\theta} = 40 \sin(\theta)\) m/s
  • Distribution de pression : \(P = 101325 + 5000 – 80000 \sin^2(\theta)\)

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