Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
Comprendre le Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
Un barrage cylindrique vertical est utilisé pour contenir l’eau d’un réservoir. La base du cylindre est scellée au sol du réservoir et la surface supérieure est exposée à l’air. L’eau du réservoir exerce une pression hydrostatique sur la surface latérale du barrage. Le but de cet exercice est de calculer la force flottante agissant sur ce barrage due à la pression de l’eau.
Données:
- Hauteur du cylindre \(H\): 20 m
- Rayon du cylindre \(r\): 5 m
- Densité de l’eau \(\rho\): 1000 kg/m\(^3\)
- Accélération due à la gravité \(g\): 9.81 m/s\(^2\)
Questions:
1. Calculez la pression hydrostatique à la base du cylindre.
2. Déterminez la force totale exercée par l’eau sur la surface latérale du cylindre.
3. Calculez la force flottante agissant sur le barrage.
Correction : Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
1. Calcul de la pression hydrostatique à la base du cylindre
La pression hydrostatique en un point d’un liquide est donnée par la formule
\[ p = \rho \cdot g \cdot h \]
où :
- \(\rho\) est la densité du liquide,
- \(g\) l’accélération due à la gravité,
- \(h\) la profondeur mesurée depuis la surface libre.
Données :
- Densité de l’eau, \(\rho = 1000~\text{kg/m}^3\)
- Accélération due à la gravité, \(g = 9,81~\text{m/s}^2\)
- Hauteur du cylindre, \(H = 20~\text{m}\)
- À la base, \(h = H = 20~\text{m}\)
Calcul :
\[ p = 1000~\text{kg/m}^3 \times 9,81~\text{m/s}^2 \times 20~\text{m} \] \[ p = 196200~\text{N/m}^2 \quad (\text{Pa}) \]
2. Détermination de la force totale exercée par l’eau sur la surface latérale du cylindre
La pression varie linéairement avec la profondeur. Sur une paroi verticale, la pression à une profondeur \(y\) est
\[ p(y) = \rho \cdot g \cdot y \]
La surface latérale d’un cylindre est constituée de bandes horizontales de hauteur \(dy\) et d’aire élémentaire :
\[ dA = \text{circonférence} \times dy = 2\pi r\, dy \]
La force élémentaire exercée sur cette bande est :
\[ dF = p(y) \cdot dA = \rho \cdot g \cdot y \cdot 2\pi r\, dy \]
La force totale \(F\) se trouve par intégration de \(y = 0\) à \(H\) :
\[ F = \int_{0}^{H} \rho \, g \, y \, 2\pi r \, dy = \rho \, g \, 2\pi r \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{H} \]
On simplifie :
\[ F = \rho \, g \, \pi r \, H^2 \]
Données :
- \(r = 5~\text{m}\)
- \(H = 20~\text{m}\)
- \(\rho = 1000~\text{kg/m}^3\)
- \(g = 9,81~\text{m/s}^2\)
Calcul :
1. Calcul de \(H^2\) :
\[ 20^2 = 400~\text{m}^2\]
2. Substitution dans la formule :
\[ F = 1000 \times 9,81 \times \pi \times 5 \times 400 \] \[ F = 1000 \times 9,81 \times \pi \times 2000 \] \[ F = (1000 \times 9,81 \times 2000) \times \pi \] \[ F = 19\,620\,000 \times \pi \, \text{N} \]
En valeur approchée (en prenant \(\pi \approx 3,1416\)) :
\[ F \approx 19\,620\,000 \times 3,1416 \] \[ F \approx 61\,642\,000~\text{N} \]
3. Calcul de la force flottante agissant sur le barrage
Dans cet exercice, la « force flottante » correspond à la force résultante de la pression hydrostatique sur la surface latérale du barrage. Pour une surface verticale rectangulaire (ici, la paroi latérale du cylindre), cette force résultante est équivalente au résultat obtenu par intégration.
Résultat final :
La force flottante agissant sur le barrage est donc :
\[ F_{\text{flottante}} = 19\,620\,000 \times \pi \, \text{N} \] \[ F_{\text{flottante}} \approx 61,64~\text{MN} \]
Récapitulatif des résultats
1. Pression à la base : \(p = 196\,200~\text{Pa}\)
2. Force totale sur la surface latérale : \(F = 19\,620\,000 \times \pi~\text{N} \approx 61,64~\text{MN}\)
3. Force flottante sur le barrage : \(F_{\text{flottante}} = 61,64~\text{MN}\)
Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
D’autres exercices d’hydraulique:
0 commentaires