Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
Comprendre le Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
Un barrage cylindrique vertical est utilisé pour contenir l’eau d’un réservoir. La base du cylindre est scellée au sol du réservoir et la surface supérieure est exposée à l’air.
L’eau du réservoir exerce une pression hydrostatique sur la surface latérale du barrage. Le but de cet exercice est de calculer la force flottante agissant sur ce barrage due à la pression de l’eau.
Données:
- Hauteur du cylindre \(H\): 20 m
- Rayon du cylindre \(r\): 5 m
- Densité de l’eau \(\rho\): 1000 kg/m\(^3\)
- Accélération due à la gravité \(g\): 9.81 m/s\(^2\)
Questions:
- Calculez la pression hydrostatique à la base du cylindre.
- Déterminez la force totale exercée par l’eau sur la surface latérale du cylindre.
- Calculez la force flottante agissant sur le barrage.
Correction : Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
1. Pression Hydrostatique à la Base du Cylindre
La pression hydrostatique à un point donné dans un fluide est calculée à l’aide de la formule :
\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]
où :
- \(\rho\) est la densité du fluide (1000 kg/m\(^3\) pour l’eau),
- \(g\) est l’accélération due à la gravité (9.81 m/s\(^2\)),
- \(h\) est la hauteur de la colonne de fluide au-dessus du point (20 m pour la base du cylindre).
En substituant les valeurs données :
\[ P = 1000 \cdot 9.81 \cdot 20 \] \[ P = 196200 \, \text{Pa} \]
Donc, la pression hydrostatique à la base du cylindre est de 196,200 Pa (Pascals).
2. Force Totale sur la Surface Latérale
La force exercée par l’eau sur la surface latérale du cylindre peut être calculée en intégrant la pression sur cette surface.
La pression moyenne sur la surface latérale est la moyenne de la pression à la base et à la surface du fluide (qui est 0 à la surface) :
\[ P_{\text{moy}} = \frac{P_{\text{base}} + 0}{2} \] \[ P_{\text{moy}} = \frac{196200}{2} \] \[ P_{\text{moy}} = 98100 \, \text{Pa} \]
La surface latérale du cylindre est :
\[ S = 2 \pi r H \] \[ S = 2 \pi \cdot 5 \cdot 20 \] \[ S = 200 \pi \, \text{m}^2 \]
La force totale est alors :
\[ F_{\text{totale}} = P_{\text{moy}} \cdot S \] \[ F_{\text{totale}} = 98100 \cdot 200 \pi \] \[ F_{\text{totale}} = 19620000 \pi \, \text{N} \]
Soit environ 61,687,190 N (environ 61.69 MN).
3. Force Flottante
La force flottante (poussée d’Archimède) est égale au poids du volume d’eau déplacé par le barrage. Le volume déplacé par le cylindre est :
\[ V = \pi r^2 H \] \[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 20 \] \[ V = 500 \pi \, \text{m}^3 \]
La force flottante est donc :
\[ F_{\text{flottante}} = \rho \cdot g \cdot V \] \[ F_{\text{flottante}} = 1000 \cdot 9.81 \cdot 500 \pi \] \[ F_{\text{flottante}} = 4905000 \pi \, \text{N} \]
Soit environ 15,413,393 N (environ 15.41 MN).
Calcul de la Force Flottante sur un Barrage
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