Système d’Irrigation à Partir d’une Rivière Locale

1. Calcul du débit dans le canal principal

Nous utilisons la formule de Manning pour l’écoulement en canal ouvert. La formule de Manning s’écrit :

\[ Q = \frac{1}{n}\, A\, R^{\,\frac{2}{3}}\, \sqrt{S} \]

où
- \( Q \) est le débit (m³/s),
- \( n \) est le coefficient de rugosité,
- \( A \) est la surface de la section écoulante (m²),
- \( R \) est le rayon hydraulique défini par \( R = \frac{A}{P} \) (m) (avec \( P \) la périphérie mouillée),
- \( S \) est la pente du canal.

Attention : Ici, le canal principal est considéré « à moitié plein ». Pour un conduit circulaire d’un diamètre \( D \) fonctionnant à moitié plein, la géométrie correspond à un segment circulaire caractérisé par un angle central \(\theta = \pi\) (en radians).

Formules et données

Données du canal principal :
- Diamètre \( D = 1.5 \) m
- Profondeur considérée \( y = \frac{D}{2} = 0.75 \) m (canal à moitié plein)
- Pente \( S = 0.5\% = 0.005 \)
- Coefficient de rugosité \( n = 0.03 \)

Calcul de l’aire \( A \) du segment circulaire à moitié plein :
Pour un segment circulaire dont l’angle central est \(\theta\), la surface s’exprime par :

\[ A = \frac{D^2}{8}\, (\theta - \sin\theta) \]

À moitié plein, on montre que \(\theta = \pi\) (puisque \( y = R_0 \) avec \( R_0 = \frac{D}{2} \)). On a alors :

\[ A = \frac{1.5^2}{8}\, (\pi - \sin\pi) \quad \text{et comme } \sin\pi = 0 \]

\[ A = \frac{2.25}{8}\, \pi \approx 0.28125\,\pi \quad \Rightarrow \quad A \approx 0.884 \text{ m}^2 \]

Calcul de la périphérie mouillée \( P \) :
La longueur de l’arc de la partie mouillée (pour un canal circulaire à moitié plein) est :

\[ P = R_0\,\theta = \frac{D}{2}\, \pi = 0.75\, \pi \approx 2.356 \text{ m} \]

Calcul du rayon hydraulique \( R \) :
\[ R = \frac{A}{P} = \frac{0.884}{2.356} \approx 0.375 \text{ m} \]

Calcul du débit dans le canal principal

Nous remplaçons dans la formule de Manning :

\[ Q = \frac{1}{0.03}\, \times\, 0.884\, \times\, (0.375)^{\frac{2}{3}}\, \times\, \sqrt{0.005} \]

Étape 1 : Calcul du coefficient \(\frac{1}{n}\)

\[ \frac{1}{0.03} \approx 33.33 \]

Étape 2 : Calcul de \( R^{2/3} \)
- La puissance \(\frac{1}{3}\) de \( 0.375 \) :
\[ 0.375^{\frac{1}{3}} \approx 0.72 \quad (\text{approximativement}) \]
- Puis on élève au carré :
\[ (0.72)^2 \approx 0.52 \]

Étape 3 : Calcul de \(\sqrt{S}\)

\[ \sqrt{0.005} \approx 0.0707 \]

Étape 4 : Multiplication des facteurs

\[ Q \approx 33.33 \times 0.884 \times 0.52 \times 0.0707 \]

- \(33.33 \times 0.884 \approx 29.47\)
- \(29.47 \times 0.52 \approx 15.33\)
- \(15.33 \times 0.0707 \approx 1.085\)

Résultat :
\[ Q_{\text{canal principal}} \approx 1.08\ \text{m}^3/\text{s} \]

Note : Cette valeur représente la capacité d’écoulement théorique dans le canal, qui est plus élevée que le débit réel de la rivière.

2. Répartition du débit vers les canaux secondaires

Le système prévoit que le débit total capté par le canal principal (limité par la capacité de la rivière) est réparti également entre 5 canaux secondaires. Nous utilisons donc la répartition suivante :

\[ Q_{\text{chaque secondaire}} = \frac{Q_{\text{total disponible}}}{\text{nombre de canaux secondaires}} \]

Données

- Débit maximum de la rivière : 500 litres/s, ce qui correspond à
\[ 500\, \text{l/s} = 0.5\, \text{m}^3/\text{s} \]
- Nombre de canaux secondaires : 5

Calcul de la répartition

\[ Q_{\text{chaque secondaire}} = \frac{0.5}{5} = 0.1\, \text{m}^3/\text{s} \]

Vérification :
Le débit total distribué aux canaux secondaires sera :
\[ 0.1 \times 5 = 0.5\, \text{m}^3/\text{s} \]

Ce débit est conforme à la capacité maximale de la rivière. On remarque aussi que la capacité théorique du canal principal calculée (1.08 m³/s) excède le débit réel disponible, ce qui signifie que le canal principal est suffisamment surdimensionné pour l’alimentation prévue.

3. Estimation des pertes de charge dans chaque canal

Nous utiliserons ici la formule de Chézy qui, en canal uniforme, relie la vitesse à la géométrie et à la pente par :

\[ V = C\, \sqrt{R\, S} \]

Cependant, dans un écoulement à pente constante, la perte de charge (la baisse de hauteur d’eau sur la longueur \( L \)) se déduit directement de la pente :

\[ \Delta H = S \times L \]

Nous effectuerons ce calcul pour le canal principal et pour les canaux secondaires.

Données

Canal principal :
- Pente \( S = 0.005 \)
- Longueur \( L = 500 \) m

Canaux secondaires :
- Pente \( S = 0.003 \)
- Longueur \( L = 200 \) m

Calcul des pertes de charge

Pour le canal principal :
\[ \Delta H_{\text{principal}} = S \times L \] \[ \Delta H_{\text{principal}} = 0.005 \times 500 \] \[ \Delta H_{\text{principal}} = 2.5\, \text{m} \]

Pour chaque canal secondaire :
\[ \Delta H_{\text{secondaire}} = S \times L \] \[ \Delta H_{\text{secondaire}} = 0.003 \times 200 \] \[ \Delta H_{\text{secondaire}} = 0.6\, \text{m} \]

Remarque sur l’utilisation de la formule de Chézy :

1. On déterminerait d’abord la géométrie du canal secondaire (notamment, l’aire et le rayon hydraulique pour un canal circulaire à moitié plein).
- Diamètre : 0.75 m
- Profondeur considérée : 0.375 m

- Calcul de l’aire \( A_{\text{sec}} \) :
\[ A_{\text{sec}} = \frac{0.75^2}{8}\, (\pi - \sin\pi) \] \[ A_{\text{sec}} \approx \frac{0.5625}{8}\, \pi \] \[ A_{\text{sec}} \approx 0.221\, \text{m}^2 \]

- Périmètre mouillé \( P_{\text{sec}} \) :
\[ P_{\text{sec}} = \frac{0.75}{2}\, \pi \approx 1.178\, \text{m} \]

- Rayon hydraulique \( R_{\text{sec}} \) :
\[ R_{\text{sec}} = \frac{0.221}{1.178} \approx 0.1876\, \text{m} \]

2. On déduit le coefficient de Chézy par la relation (parmi d’autres approches) :
\[ C = \frac{1}{n}\, R^{\,\frac{1}{6}} \]
Pour \( n = 0.035 \) et \( R_{\text{sec}} \approx 0.1876 \) :
\[ R^{\frac{1}{6}} \approx 0.757,\quad C \approx \frac{0.757}{0.035} \approx 28.76\, \text{m}^{1/2}/\text{s} \]

3. La vitesse dans le canal secondaire serait alors :
\[ V = C\, \sqrt{R\, S} \] \[ V = 28.76\, \sqrt{0.1876 \times 0.003} \] \[ V \approx 28.76 \times 0.02372 \] \[ V \approx 0.681\, \text{m/s} \]

La pente \( S \) étant déjà connue, la perte de charge sur un canal de longueur \( L \) est simplement :

\[ \Delta H = L \times S \]

Ce qui conduit aux valeurs précédemment calculées.