Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach
Comprendre le Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach
Dans une installation industrielle, un fluide est transporté à travers un tuyau horizontal de 500 mètres de longueur.
Le tuyau est en acier commercial avec un diamètre interne de 0,25 mètres. Le débit volumétrique du fluide est de \(0.05 \, \text{m}^3/\text{s}\).
On vous demande de calculer le facteur de friction de Darcy-Weisbach qui est utilisé pour déterminer la perte de charge due à la friction dans le tuyau.
Données:
- Longueur du tuyau, \(L = 500 \, \text{m}\)
- Diamètre interne du tuyau, \(D = 0.25 \, \text{m}\)
- Débit volumétrique, \(Q = 0.05 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- Viscosité cinématique du fluide (eau à 20°C), \(\nu = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
- Rugosité absolue du tuyau en acier commercial, \(\epsilon = 0.045 \, \text{mm}\)
Questions:
1. Calculer la vitesse du fluide dans le tuyau.
2. Déterminer le nombre de Reynolds pour le fluide dans le tuyau.
3. Estimer le facteur de friction de Darcy-Weisbach en utilisant la formule de Colebrook-White si le régime est turbulent.
Correction : Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach
1. Calcul de la vitesse du fluide dans le tuyau
Formule utilisée :
\[ V = \frac{Q}{A} \]
où \( Q = 0.05 \, \text{m}^3/\text{s} \) est le débit volumétrique et \( A \) est la section transversale du tuyau. La section transversale \( A \) d’un tuyau circulaire est donnée par \( \pi \frac{D^2}{4} \).
Calcul de \( A \) :
\[ A = \pi \frac{(0.25)^2}{4} \] \[ A = \pi \frac{0.0625}{4} \] \[ A = 0.0491 \, \text{m}^2 \]
Substitution pour trouver \( V \) :
\[ V = \frac{0.05}{0.0491} \] \[ V \approx 1.018 \, \text{m/s} \]
2. Détermination du nombre de Reynolds
Formule utilisée :
\[ Re = \frac{VD}{\nu} \]
où \( V = 1.018 \, \text{m/s} \), \( D = 0.25 \, \text{m} \), et \( \nu = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \).
Substitution pour \( Re \) :
\[ Re = \frac{1.018 \times 0.25}{1 \times 10^{-6}} \] \[ Re = 254,500 \]
Ce nombre de Reynolds indique un régime d’écoulement turbulent, car \( Re \) est bien supérieur à 4000.
3. Estimation du facteur de friction de Darcy-Weisbach
Pour le régime turbulent, nous utilisons la formule de Colebrook-White, qui nécessite une solution itérative.
Formule de Colebrook-White :
La formule de Colebrook-White pour le calcul du facteur de friction est donnée par :
\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2.0 \log_{10} \left(\frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}}\right) \]
où \(\epsilon = 0.000045 \, \text{m}\) (ou \(0.045 \, \text{mm}\)) est la rugosité absolue et \(D = 0.25 \, \text{m}\) est le diamètre du tuyau.
Nous commençons avec une estimation de \(f\) et utilisons une méthode itérative pour affiner notre réponse.
Processus d’itération:
Première itération :
- Estimation initiale \( f = 0.02 \)
\[ \text{Gauche} = \frac{1}{\sqrt{0.02}} \] \[ \text{Gauche} = 7.07 \]
\[ \text{Droite} = -2.0 \log_{10} \left(\frac{0.000045 / 0.25}{3.7} + \frac{2.51}{254500 \sqrt{0.02}}\right) \] \[ \text{Droite} = 7.854 \]
Résultat de la première itération :
La valeur de droite est légèrement supérieure, suggérant une surestimation de \(f\). Nous devons donc réduire \(f\) pour l’itération suivante.
Deuxième itération :
- \( f = 0.018 \)
\[ \text{Gauche} = \frac{1}{\sqrt{0.018}} \] \[ \text{Gauche} = 7.35 \]
\[ \text{Droite} = -2.0 \log_{10} \left(\frac{0.000045 / 0.25}{3.7} + \frac{2.51}{254500 \sqrt{0.018}}\right) \] \[ \text{Droite} = 7.826 \]
Résultat de la deuxième itération :
Encore une légère surestimation. Nous ajustons encore \(f\) à la baisse.
Troisième itération :
- \( f = 0.017 \)
\[ \text{Gauche} = \frac{1}{\sqrt{0.017}} \] \[ \text{Gauche} = 7.46 \]
\[ \text{Droite} = -2.0 \log_{10} \left(\frac{0.000045 / 0.25}{3.7} + \frac{2.51}{254500 \sqrt{0.017}}\right) \] \[ \text{Droite} = 7.808 \]
Résultat de la troisième itération :
Les valeurs commencent à converger. Nous ajustons \(f\) encore légèrement.
Quatrième itération :
- \( f = 0.0165 \)
\[ \text{Gauche} = \frac{1}{\sqrt{0.0165}} \] \[ \text{Gauche} = 7.55 \]
\[ \text{Droite} = -2.0 \log_{10} \left(\frac{0.000045 / 0.25}{3.7} + \frac{2.51}{254500 \sqrt{0.0165}}\right) \] \[ \text{Droite} = 7.798 \]
Résultat de la quatrième itération :
Les valeurs sont très proches, mais une légère amélioration est encore possible.
Cinquième itération :
- \( f = 0.01625 \)
\[ \text{Gauche} = \frac{1}{\sqrt{0.01625}} \] \[ \text{Gauche} = 7.85 \]
\[ \text{Droite} = -2.0 \log_{10} \left(\frac{0.000045 / 0.25}{3.7} + \frac{2.51}{254500 \sqrt{0.01625}}\right) \] \[ \text{Droite} = 7.792 \]
Conclusion finale :
Les valeurs calculées pour la gauche et la droite sont très proches, indiquant un équilibre précis. L’estimation de \(f = 0.01625\) est validée comme le facteur de friction optimal pour les conditions données.
Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach
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