Mesure de Distances, Angles et Altitudes
Comprendre la mesure de Distances, Angles et Altitudes
Vous êtes un ingénieur topographe travaillant sur un projet de construction d’un nouveau pont. Avant de commencer, vous devez effectuer un relevé topographique du site.
Le site est un terrain relativement plat avec une légère inclinaison. Votre tâche consiste à mesurer la distance entre trois points de repère (A, B, C), calculer les angles formés par ces points et déterminer l’altitude de chacun.
Données Fournies:
- Points de Repère:
- Point A (Point de départ)
- Point B (100 mètres à l’Est du point A)
- Point C (150 mètres au Nord-Est du point A sous un angle de 45° par rapport à la ligne AB)
- Altitude:
- Point A: 250 mètres au-dessus du niveau de la mer
- Inclinaison du terrain: 5° ascendant du point A vers le point C
- Instruments:
- Théodolite pour mesurer les angles
- Télémètre laser pour les distances
- Niveau numérique pour l’altitude
Questions:
1. Calcul de la Distance AC:
- Utilisez la méthode appropriée pour calculer la distance entre les points A et C.
2. Mesure des Angles:
- Déterminez l’angle ∠BAC en utilisant le théodolite.
- Calculez l’angle ∠ABC en considérant la géométrie du terrain.
3. Altitude des Points B et C:
- Calculez l’altitude du point B en considérant l’inclinaison du terrain.
- Déterminez l’altitude du point C en utilisant les données fournies et les calculs d’altitude.
Correction : mesure de Distances, Angles et Altitudes
1. Calcul de la Distance AC
Pour calculer la distance AC, nous appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les points A, B et C.
- Hypoténuse (AC) = ?
- Côté adjacent (AB) = 100 mètres
- Côté opposé (BC) = 150 mètres
Formule:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Calcul:
\[ AC = \sqrt{100^2 + 150^2} \]
\[ AC = \sqrt{10000 + 22500} \]
\[ AC = \sqrt{32500} \]
\[ AC \approx 180.28 \, \text{mètres} \]
2. Mesure des Angles \(\angle BAC\) et \(\angle ABC\)
\(\angle BAC\):
Puisque BC est 150 mètres au Nord-Est du point A sous un angle de 45° par rapport à AB, \(\angle BAC\) est de 45°.
\(\angle ABC\):
Utilisons la trigonométrie. Dans un triangle, la somme des angles est de 180°.
\(\angle BAC = 45°\) (donné), \(\angle ACB = 90°\) (car triangle rectangle).
\(\angle ABC = 180° – \angle ACB – \angle BAC\)
\(\angle ABC = 180° – 90° – 45°\)
\(\angle ABC = 45°\)
3. Altitude des Points B et C
Point B:
L’altitude de B peut être calculée en considérant l’angle d’inclinaison de 5° sur une distance de 100 mètres.
Utilisons la formule de la pente:
\[\text{Élévation de B} = 100 \times \tan(5°)\]
\[\text{Élévation de B} \approx 8.75 \, \text{mètres}\]
\[\text{Altitude de B} = \text{Altitude de A} + \text{Élévation de B}\] \[\text{Altitude de B} = 250 \, \text{m} + 8.75 \, \text{m}\] \[\text{Altitude de B} \approx 258.75 \, \text{mètres}\]
Point C:
Pour C, nous considérons la distance AC et l’angle d’inclinaison.
\[\text{Élévation de C} = AC \times \tan(5°)\] \[\text{Élévation de C} \approx 180.28 \times \tan(5°)\] \[\text{Élévation de C} \approx 15.79 \, \text{mètres}\]
\[\text{Altitude de C} = \text{Altitude de A} + \text{Élévation de C}\] \[\text{Altitude de C} = 250 \, \text{m} + 15.79 \, \text{m}\] \[\text{Altitude de C} \approx 265.79 \, \text{mètres}\]
Conclusion
- Distance AC \(\approx\) 180.28 mètres.
- Angle \(\angle BAC = 45°\), Angle \(\angle ABC = 45°\).
- Altitude de B \(\approx\) 258.75 mètres, Altitude de C \(\approx\) 265.79 mètres.
Mesure de Distances, Angles et Altitudes
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