Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
Comprendre le Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
Vous êtes un topographe chargé de déterminer la distance curviligne entre deux points sur un terrain accidenté afin de préparer un plan pour un nouveau chemin de randonnée.
Le terrain comporte divers obstacles naturels comme des collines et des ravins, ce qui nécessite de mesurer précisément les distances en suivant le relief du terrain.
Pour comprendre le Calcul des dimensions d’un terrain, cliquez sur le lien.
Données fournies :
- Point A (Départ) : Coordonnées (35°N, 45°E)
- Point B (Arrivée) : Coordonnées (35°N, 45.005°E)
- Altitude du point A : 150 mètres
- Altitude du point B : 230 mètres
- Points intermédiaires :
- Point C : Coordonnées (35°N, 45.001°E), Altitude 180 mètres
- Point D : Coordonnées (35°N, 45.003°E), Altitude 210 mètres
Questions:
1. Calculez la distance horizontale entre chaque point (A à C, C à D, D à B).
2. Calculez la distance verticale (différence d’altitude) entre chaque point.
3. Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la distance curviligne entre chaque paire de points.
4. Additionnez les distances curvilignes entre chaque paire de points pour obtenir la distance totale du parcours de A à B en suivant le relief.
Correction : Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
1. Calcul des distances horizontales
Nous utilisons la formule donnée pour calculer la distance horizontale sur la surface de la Terre entre deux points de latitude et longitude données.
La formule de la distance est basée sur la loi des cosinus sphériques.
Distance de A à C :
- Latitude et longitude de A : 35°N, 45°E
- Latitude et longitude de C : 35°N, 45.001°E
Calcul :
\[ d_{AC} = 6371 \cdot \arccos\left(\sin(35^\circ) \cdot \sin(35^\circ) + \cos(35^\circ) \cdot \cos(35^\circ) \cdot \cos(0.001^\circ)\right) \] \[ d_{AC} \approx 0.111 \, \text{km} \]
Distance de C à D :
- Latitude et longitude de C : 35°N, 45.001°E
- Latitude et longitude de D : 35°N, 45.003°E
Calcul :
\[ d_{CD} = 6371 \cdot \arccos\left(\sin(35^\circ) \cdot \sin(35^\circ) + \cos(35^\circ) \cdot \cos(35^\circ) \cdot \cos(0.002^\circ)\right) \] \[ d_{CD} \approx 0.222 \, \text{km} \]
Distance de D à B :
- Latitude et longitude de D : 35°N, 45.003°E
- Latitude et longitude de B : 35°N, 45.005°E
Calcul :
\[ d_{DB} = 6371 \cdot \arccos\left(\sin(35^\circ) \cdot \sin(35^\circ) + \cos(35^\circ) \cdot \cos(35^\circ) \cdot \cos(0.002^\circ)\right) \] \[ d_{DB} \approx 0.222 \, \text{km} \]
2. Calcul des distances verticales (différences d’altitude)
Entre A et C :
\[ \Delta h_{AC} = 180 \, \text{m} – 150 \, \text{m} \] \[ \Delta h_{AC} = 30 \, \text{m} \]
Entre C et D :
\[ \Delta h_{CD} = 210 \, \text{m} – 180 \, \text{m} \] \[ \Delta h_{CD} = 30 \, \text{m} \]
Entre D et B :
\[ \Delta h_{DB} = 230 \, \text{m} – 210 \, \text{m} \] \[ \Delta h_{DB} = 20 \, \text{m} \]
3. Calcul des distances curvilignes
Nous utilisons le théorème de Pythagore pour calculer la distance curviligne entre chaque paire de points.
Distance curviligne AC :
\[ d_{curv, AC} = \sqrt{(0.111)^2 + (0.03)^2} \] \[ d_{curv, AC} \approx 0.114 \, \text{km} \]
Distance curviligne CD :
\[ d_{curv, CD} = \sqrt{(0.222)^2 + (0.03)^2} \] \[ d_{curv, CD} \approx 0.224 \, \text{km} \]
Distance curviligne DB :
\[ d_{curv, DB} = \sqrt{(0.222)^2 + (0.02)^2} \] \[ d_{curv, DB} \approx 0.223 \, \text{km} \]
4. Calcul de la distance totale curviligne de A à B
\[ d_{total} = d_{curv, AC} + d_{curv, CD} + d_{curv, DB} \] \[ d_{total} \approx 0.561 \, \text{km} \]
Conclusion
La distance totale curviligne du parcours de A à B, en suivant le relief du terrain, est d’environ 0.561 km.
Ce calcul montre l’importance de considérer les variations d’altitude en plus de la distance horizontale dans la topographie, surtout dans des terrains accidentés.
Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
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