Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
Comprendre le Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
Vous êtes un topographe chargé de déterminer la distance curviligne entre deux points sur un terrain accidenté afin de préparer un plan pour un nouveau chemin de randonnée. Le terrain comporte divers obstacles naturels comme des collines et des ravins, ce qui nécessite de mesurer précisément les distances en suivant le relief du terrain.
Pour comprendre le Calcul des dimensions d’un terrain, cliquez sur le lien.
Données fournies :
- Point A (Départ) : Coordonnées (35°N, 45°E)
- Point B (Arrivée) : Coordonnées (35°N, 45.005°E)
- Altitude du point A : 150 mètres
- Altitude du point B : 230 mètres
- Points intermédiaires :
- Point C : Coordonnées (35°N, 45.001°E), Altitude 180 mètres
- Point D : Coordonnées (35°N, 45.003°E), Altitude 210 mètres
Questions:
1. Calculez la distance horizontale entre chaque point (A à C, C à D, D à B).
2. Calculez la distance verticale (différence d’altitude) entre chaque point.
3. Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la distance curviligne entre chaque paire de points.
4. Additionnez les distances curvilignes entre chaque paire de points pour obtenir la distance totale du parcours de A à B en suivant le relief.
Correction : Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
1. Calcul de la distance horizontale entre chaque point
1.1 Segment A → C
Sur un même parallèle (même latitude), seule la différence de longitude influence la distance. Les cercles de latitude sont plus petits vers les pôles. On calcule d’abord la différence d’angle en radians, puis on multiplie par le rayon de la Terre ajusté par le cosinus de la latitude pour tenir compte du cercle plus petit.
Formule : \[ d_H = R \times \cos(\varphi) \times \Delta\lambda_{\rm rad} \]
Données :
• Rayon de la Terre : \(R = 6\,371\,000\ \mathrm{m}\)
• Latitude : \(\varphi = 35^\circ\) (soit environ 0,61 radian)
• Différence de longitude : \(\Delta\lambda = 45.001^\circ - 45.000^\circ = 0.001^\circ\)
• Conversion en radians : \(\Delta\lambda_{\rm rad} = 0.001 \times \frac{\pi}{180} \approx 1{,}745\times10^{-5}\ \mathrm{rad}\)
Calcul : on remplace chaque valeur dans la formule pour obtenir :
\[ d_{AC} = 6\,371\,000 \times \cos(35^\circ) \times (1{,}745\times10^{-5}) \] \[ d_{AC} \approx 91{,}09\ \mathrm{m} \]
Interprétation : le sol entre A et C mesure environ 91 mètres lorsqu’on suit la courbure due à la latitude.
1.2 Segment C → D
Même principe que pour A→C, mais la différence de longitude est plus grande (0,002°), donc la distance horizontale double environ.
Formule : \[ d_H = R \times \cos(\varphi) \times \Delta\lambda_{\rm rad} \]
Données :
• \(\Delta\lambda = 45.003^\circ - 45.001^\circ = 0.002^\circ\)
• \(\Delta\lambda_{\rm rad} = 0.002 \times \frac{\pi}{180} \approx 3{,}491\times10^{-5}\ \mathrm{rad}\)
Calcul : \[ d_{CD} = 6\,371\,000 \times \cos(35^\circ) \times (3{,}491\times10^{-5}) \] \[ d_{CD} \approx 182{,}17\ \mathrm{m} \]
Interprétation : la distance horizontale entre C et D est d’environ 182 mètres.
1.3 Segment D → B
Identique aux précédents, on utilise le même calcul car la différence de longitude est aussi de 0,002°.
Formule : \[ d_H = R \times \cos(\varphi) \times \Delta\lambda_{\rm rad} \]
Données :
• \(\Delta\lambda = 45.005^\circ - 45.003^\circ = 0.002^\circ\)
• \(\Delta\lambda_{\rm rad} = 3{,}491\times10^{-5}\ \mathrm{rad}\)
Calcul : \[ d_{DB} = 6\,371\,000 \times \cos(35^\circ) \times (3{,}491\times10^{-5}) \] \[ d_{DB} \approx 182{,}17\ \mathrm{m} \]
Interprétation : D et B sont séparés par environ 182 mètres horizontalement.
2. Calcul de la distance verticale (différence d’altitude)
2.1 Différences d’altitude
On calcule l’écart de hauteur entre chaque paire de points. Cela correspond au gain ou à la perte d’altitude.
| Segment | Altitude départ (m) | Altitude arrivée (m) | Δh (m) |
|---|---|---|---|
| A → C | 150 | 180 | 30 |
| C → D | 180 | 210 | 30 |
| D → B | 210 | 230 | 20 |
Interprétation : la table montre clairement les valeurs d’altitude de départ, d’arrivée et la différence pour chaque segment.
3. Calcul de la distance curviligne pour chaque segment
Le trajet forme un triangle rectangle où
Formule : \[ d_{\rm curv} = \sqrt{d_H^2 + (\Delta h)^2} \]
3.1 A → C
Données : \(d_H = 91{,}09\ \mathrm{m},\ \Delta h = 30\ \mathrm{m}\)
Calcul : \[ d_{AC}^{\rm curv} = \sqrt{91{,}09^2 + 30^2} \] \[ d_{AC}^{\rm curv} = \sqrt{8\,298{,}6 + 900} \] \[ d_{AC}^{\rm curv} \approx 95{,}90\ \mathrm{m} \]
Interprétation : la distance réelle à parcourir de A à C en suivant la pente est d’environ 95,9 m.
3.2 C → D
Données : \(d_H = 182{,}17\ \mathrm{m},\ \Delta h = 30\ \mathrm{m}\)
Calcul : \[ d_{CD}^{\rm curv} = \sqrt{182{,}17^2 + 30^2} \] \[ d_{CD}^{\rm curv} = \sqrt{33\,223{,}5 + 900} \] \[ d_{CD}^{\rm curv} \approx 184{,}62\ \mathrm{m} \]
Interprétation : on parcourt environ 184,6 m entre C et D en suivant le relief.
3.3 D → B
Données : \(d_H = 182{,}17\ \mathrm{m},\ \Delta h = 20\ \mathrm{m}\)
Calcul : \[ d_{DB}^{\rm curv} = \sqrt{182{,}17^2 + 20^2} \] \[ d_{DB}^{\rm curv} = \sqrt{33\,223{,}5 + 400} \] \[ d_{DB}^{\rm curv} \approx 183{,}27\ \mathrm{m} \]
Interprétation : la partie finale D→B mesure environ 183,3 m le long de la pente.
4. Distance totale du parcours A → B
Il suffit d’additionner chaque distance curviligne pour obtenir la longueur totale du chemin en suivant le relief.
Calcul : \[ D_{\rm total} = 95{,}90 + 184{,}62 + 183{,}27 \] \[ D_{\rm total} = 463{,}79\ \mathrm{m} \]
Résultat final : La distance totale à parcourir du point A au point B, en suivant précisément le relief, est d’environ 463,79 m.
Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
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