Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
Comprendre le Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
Vous êtes un topographe chargé de déterminer la distance curviligne entre deux points sur un terrain accidenté afin de préparer un plan pour un nouveau chemin de randonnée.
Le terrain comporte divers obstacles naturels comme des collines et des ravins, ce qui nécessite de mesurer précisément les distances en suivant le relief du terrain.
Pour comprendre le Calcul des dimensions d’un terrain, cliquez sur le lien.
Données fournies :
- Point A (Départ) : Coordonnées (35°N, 45°E)
- Point B (Arrivée) : Coordonnées (35°N, 45.005°E)
- Altitude du point A : 150 mètres
- Altitude du point B : 230 mètres
- Points intermédiaires :
- Point C : Coordonnées (35°N, 45.001°E), Altitude 180 mètres
- Point D : Coordonnées (35°N, 45.003°E), Altitude 210 mètres
Questions:
1. Calculez la distance horizontale entre chaque point (A à C, C à D, D à B).
2. Calculez la distance verticale (différence d’altitude) entre chaque point.
3. Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la distance curviligne entre chaque paire de points.
4. Additionnez les distances curvilignes entre chaque paire de points pour obtenir la distance totale du parcours de A à B en suivant le relief.
Correction : Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
1. Calcul des distances horizontales
Les distances horizontales entre les points sont calculées en utilisant la loi des cosinus sphériques, une méthode appropriée pour les grandes distances sur la surface terrestre.
- Latitude commune : 35° (en radians pour les calculs, \(\theta = 35 \times \frac{\pi}{180}\))
- Rayon de la Terre : \(R = 6371\) km
Formule générale :
\[ d = R \cdot \arccos(\sin(\theta) \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta) \cdot \cos(\theta) \cdot \cos(\Delta \lambda)) \]
Distance de A à C :
- Longitudes : 45°E à 45.001°E
- \( \Delta \lambda = (45.001 – 45) \times \frac{\pi}{180} \)
Calcul :
\[ d_{AC} = 6371 \cdot \arccos(\sin(35^\circ) \cdot \sin(35^\circ) + \cos(35^\circ) \cdot \cos(35^\circ) \cdot \cos(0.001^\circ \times \frac{\pi}{180})) \] \[ d_{AC} = 0.136\, \text{km} \]
Distance de C à D :
- Longitudes : 45.001°E à 45.003°E
- \( \Delta \lambda = (45.003 – 45.001) \times \frac{\pi}{180} \)
\[ d_{CD} = 0.272\, \text{km} \]
Distance de D à B :
- Longitudes : 45.003°E à 45.005°E
- \( \Delta \lambda = (45.005 – 45.003) \times \frac{\pi}{180} \)
\[ d_{DB} = 0.272\, \text{km} \]
2. Calcul des distances verticales (différences d’altitude)
Les différences d’altitude sont converties en kilomètres pour l’uniformité des unités dans le calcul curviligne :
Entre A et C :
\[ \Delta h_{AC} = (180 – 150) / 1000 \] \[ \Delta h_{AC} = 0.030\, \text{km} \]
Entre C et D :
\[ \Delta h_{CD} = (210 – 180) / 1000 \] \[ \Delta h_{CD} = 0.030\, \text{km} \]
Entre D et B :
\[ \Delta h_{DB} = (230 – 210) / 1000 \] \[ \Delta h_{DB} = 0.020\, \text{km} \]
3. Calcul des distances curvilignes
En utilisant le théorème de Pythagore, nous calculons la distance réelle en prenant en compte à la fois les distances horizontales et verticales :
Distance curviligne AC :
\[ d_{curv,AC} = \sqrt{(0.136)^2 + (0.030)^2} \] \[ d_{curv,AC} = 0.139\, \text{km} \]
Distance curviligne CD :
\[ d_{curv,CD} = \sqrt{(0.272)^2 + (0.030)^2} \] \[ d_{curv,CD} = 0.274\, \text{km} \]
Distance curviligne DB :
\[ d_{curv,DB} = \sqrt{(0.272)^2 + (0.020)^2} \] \[ d_{curv,DB} = 0.273\, \text{km} \]
4. Calcul de la distance totale curviligne de A à B
La somme des distances curvilignes entre chaque paire de points donne la distance totale du parcours en suivant le relief :
\[ d_{total} = d_{curv,AC} + d_{curv,CD} + d_{curv,DB} \]
- Distance curviligne de A à C : 0.139 km
- Distance curviligne de C à D : 0.274 km
- Distance curviligne de D à B : 0.273 km
Calcul de la distance totale :
\[ d_{total} = 0.139\, \text{km} + 0.274\, \text{km} + 0.273\, \text{km} \] \[ d_{total} = 0.686\, \text{km} \]
Conclusion
La distance totale curviligne du parcours de A à B, en tenant compte des variations de relief du terrain, est d’environ 0.686 km.
Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain
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