Calcul de l’Angle au Sommet
Comprendre le Calcul de l’Angle au Sommet
Vous êtes un topographe travaillant sur un projet de développement d’une nouvelle zone résidentielle.
Avant de commencer la construction, il est essentiel de déterminer les angles formés par les sommets des terrains pour optimiser l’agencement des rues et des lots.
Vous êtes chargé de calculer l’angle au sommet d’un triangle formé par trois bornes repères sur le terrain.
Pour comprendre le Calcul des altitudes en topographie, cliquez sur le lien.
Données:
- Borne A se trouve aux coordonnées (100 m, 200 m).
- Borne B se trouve aux coordonnées (150 m, 450 m).
- Borne C se trouve aux coordonnées (300 m, 350 m).
Les coordonnées sont données dans un système de référence local où les valeurs sont exprimées en mètres.
Questions:
1. Calculez d’abord les distances entre chaque paire de bornes:
- Distance \(AB\)
- Distance \(BC\)
- Distance \(CA\)
2. Utilisez la formule de la loi des cosinus pour déterminer l’angle au sommet \(\angle BAC\) du triangle formé par les trois bornes.
Correction : Calcul de l’Angle au Sommet
1. Calcul des Distances.
– Calcul de la distance AB entre les points A (100 m, 200 m) et B (150 m, 450 m)
Formule utilisée :
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
Substitution des valeurs :
\[ d = \sqrt{(150 – 100)^2 + (450 – 200)^2} \]
Calculs détaillés :
\[ AB = \sqrt{50^2 + 250^2} \] \[ AB = \sqrt{2500 + 62500} \] \[ AB = \sqrt{65000} \] \[ AB \approx 254.95 \, \text{m} \]
– Calcul de la distance BC entre les points B (150 m, 450 m) et C (300 m, 350 m)
Formule utilisée :
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
Substitution des valeurs :
\[ d = \sqrt{(300 – 150)^2 + (350 – 450)^2} \]
Calculs détaillés :
\[ BC = \sqrt{150^2 + (-100)^2} \] \[ BC = \sqrt{22500 + 10000} \] \[ BC = \sqrt{32500} \] \[ BC \approx 180.28 \, \text{m} \]
– Calcul de la distance CA entre les points C (300 m, 350 m) et A (100 m, 200 m)
Formule utilisée :
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
Substitution des valeurs :
\[ d = \sqrt{(100 – 300)^2 + (200 – 350)^2} \]
Calculs détaillés :
\[ CA = \sqrt{(-200)^2 + (-150)^2} \] \[ CA = \sqrt{40000 + 22500} \] \[ CA = \sqrt{62500} \] \[ CA \approx 250.00 \, \text{m} \]
2. Application de la Loi des Cosinus pour Calculer l’Angle \( \angle BAC \)
Formule de la loi des cosinus :
\[ \cos(\theta) = \frac{c^2 – a^2 – b^2}{-2ab} \]
Substitution des valeurs pour \( \angle BAC \) où \( CA \) est le côté \( c \), et \( AB \) et \( BC \) sont les côtés \( a \) et \( b \), respectivement:}
\[ \cos(\angle BAC) = \frac{250^2 – 254.95^2 – 180.28^2}{-2 \times 254.95 \times 180.28} \]
Calculs détaillés :
\[ \cos(\angle BAC) = \frac{62500 – 65000.5025 – 32500.8784}{-2 \times 254.95 \times 180.28} \] \[ \cos(\angle BAC) \approx \frac{-35001.3809}{-92050.34} \] \[ \cos(\angle BAC) \approx 0.3805 \]
Conversion de cosinus en degrés :
\[ \angle BAC = \cos^{-1}(0.3805) \] \[ \angle BAC \approx 67.93^\circ \]
Conclusion
L’angle au sommet \( \angle BAC \) dans le triangle formé par les bornes A, B, et C est approximativement de 67.93 degrés.
Cette méthode de calcul montre l’application directe des formules de distance et de la loi des cosinus, accompagnée de chaque étape de substitution et de calcul détaillé pour garantir la précision et la compréhension.
Calcul de l’Angle au Sommet
D’autres exercices de topographie:
0 commentaires