Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte
Comprendre la Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte
Vous êtes un topographe chargé de mesurer la distance entre deux points, A et B, situés de part et d’autre d’une rivière.
Pour des raisons de sécurité, vous ne pouvez pas traverser la rivière directement.
Matériel Disponible
- Un théodolite placé en un point C, d’où vous pouvez voir les points A et B.
- Un ruban de mesure pour mesurer des distances courtes.
Consignes
1. Mesure d’une Base Accessible :
Trouvez un point D sur la même rive que C et mesurez la distance CD avec le ruban de mesure. Supposons que cette distance soit de 100 mètres.
2. Mesure des Angles :
À l’aide du théodolite, mesurez l’angle \(\angle DCA\) (notons cet angle \(\alpha\)) et l’angle \(\angle DCB\) (notons cet angle \(\beta\)). Supposons que \(\alpha = 50^\circ\) et \(\beta = 60^\circ\).
3. Calculs :
Utilisez la loi des sinus ou toute autre méthode appropriée pour calculer les distances CA et CB.
Ensuite, calculez la distance AB, qui est la distance inconnue à mesurer.
Questions
A. Calculez les distances CA et CB en utilisant les données fournies.
B. Déterminez la distance AB.
Correction : Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte
A. Calcul des distances \(CA\) et \(CB\)
1. Application de la loi des sinus dans le triangle CDA pour trouver \(CA\)
Le triangle CDA est formé avec les angles et les côtés suivants :
- \(\angle DCA = \alpha = 50^\circ\)
- \(\angle CDA = 90^\circ\) (supposé perpendiculaire)
- \(\angle DAC = 180^\circ – 50^\circ – 90^\circ = 40^\circ\)
D’après la loi des sinus :
\[ \frac{CA}{\sin(40^\circ)} = \frac{CD}{\sin(50^\circ)} \]
En substituant \(CD = 100\) mètres, on obtient :
\[ CA = \frac{100 \times \sin(40^\circ)}{\sin(50^\circ)} \]
Calcul des sinus pour une précision accrue :
- \(\sin(40^\circ) \approx 0.6428\)
- \(sin(50^\circ) \approx 0.7660\)
\[ CA \approx \frac{100 \times 0.6428}{0.7660} \] \[ CA \approx 83.90 \text{ mètres} \]
2. Application de la loi des sinus dans le triangle CDB pour trouver \(CB\)
Le triangle CDB est formé avec les angles et les côtés suivants :
- \(\angle DCB = \beta = 60^\circ\)
- \(\angle CBD = 120^\circ\) (par symétrie géométrique ou calcul géométrique correct)
D’après la loi des sinus :
\[ \frac{CB}{\sin(120^\circ)} = \frac{CD}{\sin(60^\circ)} \]
En substituant \(CD = 100\) mètres, on obtient :
\[ CB = \frac{100 \times \sin(120^\circ)}{\sin(60^\circ)} \]
Calcul des sinus pour une précision accrue :
- \( \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = 0.8660 \text{ (propriété des sinus dans le cercle unité)} \)
\[ CB = \frac{100 \times 0.8660}{0.8660} \] \[ CB = 100 \text{ mètres} \]
B. Calcul de la distance \(AB\)
Utilisation de la règle du cosinus dans le triangle CAB :
- \(CA \approx 83.90 \text{ mètres}\)
- \(CB \approx 100 \text{ mètres}\)
- \(\angle ACB = 180^\circ – 40^\circ – 60^\circ = 80^\circ\)
La règle du cosinus s’énonce comme suit :
\[ AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2 \times CA \times CB \times \cos(80^\circ) \]
Calcul de cosinus pour une précision accrue :
- \( \cos(80^\circ) \approx 0.1736 \)
\[ AB^2 = 83.90^2 + 100^2 – 2 \times 83.90 \times 100 \times 0.1736 \] \[ AB^2 \approx 7036.21 + 10000 – 2913.728 \] \[ AB^2 \approx 14122.482 \] \[ AB \approx \sqrt{14122.482} \] \[ AB \approx 118.84 \text{ mètres} \]
Conclusion
Les distances sont :
- \(CA \approx 83.90 \text{ mètres}\),
- \(CB = 100 \text{ mètres}\)
- \(AB \approx 118.84 \text{ mètres}\)
Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte
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