Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

Comprendre la Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

Vous êtes un topographe chargé de mesurer la distance entre deux points, A et B, situés de part et d’autre d’une rivière.

Pour des raisons de sécurité, vous ne pouvez pas traverser la rivière directement.

Matériel Disponible

  • Un théodolite placé en un point C, d’où vous pouvez voir les points A et B.
  • Un ruban de mesure pour mesurer des distances courtes.

Consignes

1. Mesure d’une Base Accessible :

Trouvez un point D sur la même rive que C et mesurez la distance CD avec le ruban de mesure. Supposons que cette distance soit de 100 mètres.

2. Mesure des Angles :

À l’aide du théodolite, mesurez l’angle \(\angle DCA\) (notons cet angle \(\alpha\)) et l’angle \(\angle DCB\) (notons cet angle \(\beta\)). Supposons que \(\alpha = 50^\circ\) et \(\beta = 60^\circ\).

3. Calculs :

Utilisez la loi des sinus ou toute autre méthode appropriée pour calculer les distances CA et CB.

Ensuite, calculez la distance AB, qui est la distance inconnue à mesurer.

Questions

A. Calculez les distances CA et CB en utilisant les données fournies.

B. Déterminez la distance AB.

Correction : Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

A. Calcul des Distances CA et CB

1. Application de la Loi des Sinus dans le Triangle CDA :

  • Pour trouver la distance CA, nous utilisons le triangle CDA et la loi des sinus.

Selon la loi des sinus :

\[ \frac{\sin(\angle CA)}{CD} = \frac{\sin(\angle CD)}{CA} \]

En substituant les valeurs connues :

\[ \frac{\sin(50^\circ)}{100} = \frac{\sin(180^\circ – (50^\circ + \angle CAD))}{CA} \]

Puisque le triangle CDA est un triangle plat (somme des angles = 180^\circ),

\[ \angle CAD = 180^\circ – 50^\circ – 90^\circ = 40^\circ \]

Donc,

\[\frac{\sin(50^\circ)}{100} = \frac{\sin(40^\circ)}{CA} \]

En résolvant pour CA, on obtient :

\[ CA = \frac{100 \times \sin(40^\circ)}{\sin(50^\circ)} \]

2. Calcul de CA :

En effectuant le calcul :

\[ CA = \frac{100 \times 0.6428}{0.7660} \] arrondis aux quatre décimales

\[ CA \approx 83.90 \text{ mètres} \]

3. Application de la Loi des Sinus dans le Triangle CDB de Manière Similaire pour CB :

De façon similaire, nous calculons CB :

\[ CB = \frac{100 \times \sin(60^\circ)}{\sin(30^\circ)} \] \[ CB = \frac{100 \times 0.8660}{0.5} \] \[ CB \approx 173.20 \text{ mètres} \]

B. Calcul de la Distance AB

1. Utilisation de la Règle du Cosinus dans le Triangle CAB :

La règle du cosinus s’énonce comme suit :

\[ AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2 \times CA \times CB \times \cos(\angle ACB) \]

\[ \angle ACB = 180^\circ – \angle CAD – \angle CBD \] \[ = 180^\circ – 40^\circ – 60^\circ = 80^\circ \]

En substituant les valeurs :

\[ AB^2 = 83.90^2 + 173.20^2 – 2 \times 83.90 \times 173.20 \times \cos(80^\circ) \]

Calcul de AB :

En effectuant le calcul :

\[ AB^2 \approx 7036.21 + 29992.64 – 29077.35 \] \[ AB^2 \approx 6951.50 \] \[ AB \approx \sqrt{6951.50} \] \[ AB \approx 83.38 \text{ mètres} \]

Conclusion

La distance AB entre les points A et B, mesurée en utilisant des méthodes indirectes de topographie, est d’environ 83.38 mètres.

Ce calcul démontre comment les connaissances en trigonométrie peuvent être appliquées pour résoudre des problèmes pratiques en topographie, en particulier lorsqu’il est impossible de mesurer directement la distance entre deux points.

Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

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