Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
Comprendre le Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir une poutre en bois qui sera utilisée dans la construction d’une charpente de toit.
La poutre doit supporter une charge uniformément répartie tout en minimisant le risque de défaillance due à l’anisotropie du bois.
Pour comprendre les Caractéristiques mécaniques du bois, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Matériau : Pin sylvestre
- Charge uniformément répartie \( q \) : 500 N/m
- Longueur de la poutre \( L \) : 4 m
- Largeur de la poutre \( b \) : 150 mm
- Hauteur de la poutre \( h \) : 300 mm
- Module d’élasticité selon les fibres du bois \( E_{\parallel} \) : 11000 MPa
- Module d’élasticité perpendiculaire aux fibres du bois \( E_{\perp} \) : 300 MPa
Questions:
Calculer le déplacement maximal \( \delta_{max} \) au centre de la poutre et vérifier si la poutre est conforme aux normes de sécurité.
Correction : Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
1. Moment d’inertie \(I\)
Le moment d’inertie pour une section rectangulaire est donné par:
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
Substitution des valeurs:
\[ I = \frac{150\, \text{mm} \times (300\, \text{mm})^3}{12} \] \[ I = 337500000\, \text{mm}^4 \] \[ I = 337.5\, \text{cm}^4 \]
2. Déplacement maximal \(\delta_{\text{max}}\)
La formule pour le déplacement maximal en milieu de portée sous une charge uniformément répartie est:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E_{\parallel} \times I} \]
Substitution des valeurs:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 500\, \text{N/m} \times (4000\, \text{mm})^4}{384 \times 11000\, \text{MPa} \times 337.5\, \text{cm}^4} \]
Convertir les unités de \(I\) en mm\(^4\) pour la cohérence:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 500 \times 4000^4}{384 \times 11000 \times 337500000} \] \[ \delta_{\text{max}} = 25.94\, \text{mm} \]
3. Vérification des normes de sécurité
Les normes exigent un déplacement maximal inférieur à \(\frac{L}{300}\):
\[ \frac{L}{300} = \frac{4000\, \text{mm}}{300} = 13.33\, \text{mm} \]
Résultats:
- Le moment d’inertie de la poutre est \(337.5\, \text{cm}^4\).
- Le déplacement maximal calculé est \(25.94\, \text{mm}\).
- Le déplacement maximal permis est \(13.33\, \text{mm}\).
Conclusion:
Le déplacement maximal de \(25.94\, \text{mm}\) est supérieur à la limite de sécurité de \(13.33\, \text{mm}\). La poutre n’est pas conforme aux normes avec les dimensions données.
Il est nécessaire de reconsidérer la conception, soit en augmentant la hauteur de la poutre pour augmenter le moment d’inertie, soit en utilisant un matériau avec un module d’élasticité plus élevé pour réduire le déplacement.
Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois
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