Contraintes Thermiques en Aérospatiale
Comprendre les Contraintes Thermiques en Aérospatiale
Les céramiques, utilisées dans l’ingénierie aérospatiale pour leur résistance thermique et à la corrosion, servent à fabriquer des composants de moteurs.
Un ingénieur doit concevoir un composant cylindrique en céramique qui sera soumis à des températures élevées et des contraintes mécaniques.
Pour comprendre l’Analyse de Déformation d’un Joint Polymère, cliquez sur le lien.
Données Fournies:
- Matériau : Silice (SiO₂)
- Dimensions du cylindre : Ø externe = 50 mm, Ø interne = 20 mm, longueur = 200 mm
- Température de fonctionnement : jusqu’à 1200°C
- Contrainte maximale admissible : 180 MPa
- Module d’élasticité : 70 GPa
- Coefficient de dilatation : \(9 \times 10^{-6} \, \text{K}^{-1}\)
Objectif de l’exercice:
- Calculer la contrainte thermique dans le cylindre en céramique lorsque la température atteint le maximum de 1200°C, en supposant que le composant est initialement à température ambiante (20°C).
- vérifier si le cylindre peut résister à une charge externe appliquée axialement de 10 kN sans dépasser la contrainte maximale admissible.
Questions:
1. Calcul de la Contrainte Thermique
- Calculer le changement de longueur dû à la dilatation thermique.
- Utiliser ce changement pour estimer la contrainte induite si le cylindre était contraint d’expansion libre.
2. Calcul de la Contrainte Mécanique
- Calculer la contrainte mécanique dans le cylindre en utilisant la formule pour un cylindre mince sous charge axiale.
3. Analyse de Sécurité
- Additionner les contraintes thermiques et mécaniques.
- Comparer la contrainte totale à la contrainte maximale admissible.
- Conclure si le design est sécuritaire.
Correction : Contraintes Thermiques en Aérospatiale
1. Calcul de la Contrainte Thermique
– Calcul de la Dilatation Linéaire
Formule:
\[ \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \]
Substitution des valeurs:
- Coefficient de dilatation thermique, \(\alpha = 9 \times 10^{-6} \, \text{K}^{-1}\)
- Longueur initiale, \(L_0 = 0.2 \, \text{m}\)
- Changement de température, \(\Delta T = 1180 \, \text{°C}\)
Calcul:
\[ \Delta L = 9 \times 10^{-6} \cdot 0.2 \cdot 1180 \] \[ \Delta L = 0.002124 \, \text{m} \]
– Calcul de la Contrainte Thermique
Formule:
\[ \sigma_{thermal} = \frac{E \cdot \alpha \cdot \Delta T}{1-\nu} \]
Substitution des valeurs:
- Module d’élasticité, \(E = 70 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
- Coefficient de dilatation thermique, \(\alpha = 9 \times 10^{-6} \, \text{K}^{-1}\)
- Changement de température, \(\Delta T = 1180 \, \text{°C}\)
- Poisson’s ratio, \(\nu = 0.22\) (pour la silice)
Calcul:
\[ \sigma_{thermal} = \frac{70 \times 10^9 \cdot 9 \times 10^{-6} \cdot 1180}{1-0.22} \] \[ \sigma_{thermal} = 177.77 \times 10^6 \, \text{Pa} \] \[ \sigma_{thermal} = 177.77 \, \text{MPa} \]
2. Calcul de la Contrainte Mécanique
– Calcul de l’Aire de la Section Transversale
Formule:
\[ A = \pi \left(\frac{D_{ext}^2}{4} – \frac{D_{int}^2}{4}\right) \]
Substitution des valeurs:
- Diamètre extérieur, \(D_{ext} = 0.05 \, \text{m}\)
- Diamètre intérieur, \(D_{int} = 0.02 \, \text{m}\)
Calcul:
\[ A = \pi \left(\frac{0.05^2}{4} – \frac{0.02^2}{4}\right) \] \[ A = \pi \left(0.0015625 – 0.0001\right) \] \[ A = \pi \times 0.0014625 \] \[ A = 0.004595 \, \text{m}^2 \]
– Calcul de la Contrainte Mécanique
Formule:
\[ \sigma_{mech} = \frac{F}{A} \]
Substitution des valeurs:
- Force appliquée, \(F = 10,000 \, \text{N}\)
- Aire de la section transversale, \(A = 0.004595 \, \text{m}^2\)
Calcul:
\[ \sigma_{mech} = \frac{10,000}{0.004595} \] \[ \sigma_{mech} = 2.176 \times 10^6 \, \text{Pa} \] \[ \sigma_{mech} = 2.176 \, \text{MPa} \]
3. Analyse de Sécurité
– Addition des Contraintes
Formule:
\[ \sigma_{total} = \sigma_{thermal} + \sigma_{mech} \]
Calcul:
\[ \sigma_{total} = 177.77 \, \text{MPa} + 2.176 \, \text{MPa} \] \[ \sigma_{total} = 179.946 \, \text{MPa} \]
Comparaison avec la Contrainte Maximale Admissible
- Contrainte totale calculée, \(\sigma_{total} = 179.946 \, \text{MPa}\)
- Contrainte maximale admissible, \(180 \, \text{MPa}\)
Conclusion:
La contrainte totale \(\sigma_{total} = 179.946 \, \text{MPa}\) est extrêmement proche de la limite admissible de \(180 \, \text{MPa}\).
Bien que théoriquement le cylindre puisse supporter la charge sans défaillance, la proximité de la contrainte admissible suggère qu’une réévaluation des facteurs de sécurité ou une modification de la conception pourrait être prudente pour assurer une fiabilité à long terme.
Contraintes Thermiques en Aérospatiale
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