Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage

1. Temps nécessaire pour atteindre la vitesse maximale

Lorsqu’on démarre un convoyeur à l’arrêt, sa vitesse passe de 0 m/s à la vitesse souhaitée de 5 m/s. L’accélération (ici 0,5 m/s²) nous indique de combien la vitesse augmente chaque seconde. Ainsi, après 1 seconde, la vitesse augmente de 0,5 m/s, après 2 secondes de 1 m/s, etc.

Pour savoir combien de temps il faut, on calcule simplement combien de fois on ajoute 0,5 m/s pour atteindre 5 m/s.

Formule

\[ t_{\mathrm{acc}} = \frac{v_{f} - v_{i}}{a} \]

Données

• v_i = 0 m/s (vitesse initiale)
• v_f = 5 m/s (vitesse finale recherchée)
• a = 0,5 m/s² (accélération constante)

Calcul

On remplace dans la formule :

\[ t_{\mathrm{acc}} = \frac{5 - 0}{0.5} = 10 \text{ secondes} \]

Interprétation : Il faut 10 secondes pour passer de l’arrêt à 5 m/s.

2. Distance parcourue pendant l’accélération

Pendant que le convoyeur accélère, il ne va pas tout de suite à 5 m/s : il part de 0 et augmente progressivement. La distance parcourue est l’aire sous la courbe vitesse – temps. Avec une accélération constante, cette aire est un triangle dont la base est le temps (10 s) et la hauteur la vitesse finale (5 m/s).

On peut donc utiliser la formule d’un mouvement uniformément accéléré.

Formule

\[ s_{\mathrm{acc}} = \frac{1}{2} a t_{\mathrm{acc}}^{2} = \frac{v_{f}^{2} - v_{i}^{2}}{2a} \]

Données

• a = 0,5 m/s²
• t_acc = 10 s
• v_i = 0, v_f = 5 m/s

Calcul

On prend la première partie de la formule :

\[ s_{\mathrm{acc}} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (10)^{2} \] \[ s_{\mathrm{acc}} = 0.25 \times 100 \] \[ s_{\mathrm{acc}} = 25 \text{ mètres} \]

Interprétation : Pendant les 10 premières secondes, le convoyeur parcourt 25 m alors qu’il accélère.

3. Temps de parcours total de A à B

Le parcours de 100 m se divise en :

• Phase d’accélération (0 → 5 m/s) sur 25 m et 10 s.
• Phase à vitesse constante de 5 m/s.
• Phase de décélération (5 m/s → 0) symétrique.

On calcule d’abord la distance restante après accélération et décélération, puis le temps pour la parcourir.

Formules

\[ s_{\mathrm{const}} = L - (s_{\mathrm{acc}} + s_{\mathrm{dec}}) \]

\[ t_{\mathrm{const}} = \frac{s_{\mathrm{const}}}{v_{\mathrm{max}}} \]

\[ t_{\mathrm{total}} = t_{\mathrm{acc}} + t_{\mathrm{const}} + t_{\mathrm{dec}} \quad\text{où}\; t_{\mathrm{dec}} = t_{\mathrm{acc}} \]

Données

• L = 100 m
• s_acc = 25 m
• s_dec = 25 m
• v_max = 5 m/s
• t_acc = 10 s

Calcul

Distance à vitesse constante :

\[ s_{\mathrm{const}} = 100 - (25 + 25) = 50 \text{ m} \]

Temps correspondant :

\[ t_{\mathrm{const}} = \frac{50}{5} = 10 \text{ s} \]

Temps total :

\[ t_{\mathrm{total}} = 10 + 10 + 10 = 30 \text{ s} \]

Interprétation : Le convoyeur met 30 s pour parcourir 100 m, en incluant l’accélération, la vitesse constante et la décélération.

4. Distance parcourue pendant la décélération

La décélération est le même mouvement que l’accélération, mais en sens inverse : on passe de 5 m/s à 0. Les formules sont identiques car la variation de vitesse et l’accélération sont symétriques.

Formule

\[ s_{\mathrm{dec}} = \frac{v_{\mathrm{max}}^{2}}{2a} \]

Données

• v_i = 5 m/s
• v_f = 0
• a = 0,5 m/s²

Calcul

\[ s_{\mathrm{dec}} = \frac{5^{2}}{2 \times 0.5} = 25 \text{ m} \]

Interprétation : Le convoyeur parcourt encore 25 m en freinant jusqu’à l’arrêt.

5. Vérification de la vitesse maximale

Pour atteindre 5 m/s sans que les phases d’accélération et de décélération ne se chevauchent, il faut :

\[ 2 \times s_{\mathrm{acc}} = 2 \times 25 = 50 \text{ m} \le L = 100 \text{ m} \]

C’est bien le cas : le convoyeur peut donc atteindre la vitesse maximale.

Si on choisissait une vitesse plus faible, comme 3 m/s, on ferait :

• t_acc’ = 3 / 0,5 = 6 s
• s_acc’ = 0,5 × 0,5 × 6² = 9 m
• s_const’ = 100 – 2 × 9 = 82 m
• t_const’ = 82 / 3 ≈ 27,33 s
• t_total’ = 6 + 27,33 + 6 = 39,33 s

Ce temps est plus long que 30 s pour 5 m/s, donc moins efficace.

Conclusion

Recommandation : Atteindre 5 m/s permet de minimiser le temps total de transport.