Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage
Comprendre l’Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage
Un ingénieur doit concevoir un système de convoyeur pour transporter des matériaux d’un point A à un point B.
Le convoyeur doit démarrer et s’arrêter en douceur pour éviter de renverser ou d’endommager le matériel transporté, tout en opérant à une vitesse constante lorsqu’il est en pleine opération.
Données Fournies:
- Longueur du convoyeur: \(L = 100\) mètres
- Vitesse maximale du convoyeur: \(v_{\text{max}} = 5\) m/s
- Accélération et décélération uniformes: \(a = 0.5\) m/s\(^2\)
- Temps de démarrage jusqu’à atteindre \(v_{\text{max}}\): \(t_{\text{acc}}\)
- Temps de décélération jusqu’à l’arrêt complet: \(t_{\text{dec}}\)
Questions:
1. Calculer le temps nécessaire pour que le convoyeur atteigne sa vitesse maximale à partir de l’arrêt.
2. Déterminer la distance parcourue pendant l’accélération.
3. Calculer le temps de parcours total du convoyeur de A à B, en supposant que le convoyeur parcourt toute la distance \(L\) à vitesse constante, excepté pendant les phases d’accélération et de décélération.
4. Déterminer la distance parcourue pendant la phase de décélération.
5. Vérifier si le convoyeur a besoin de fonctionner à vitesse maximale ou si une vitesse plus faible suffit pour parcourir la distance dans un temps raisonnable.
Correction : Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage
1. Temps nécessaire pour atteindre la vitesse maximale \( v_{max} \)
Formule utilisée :
\[ v = at \]
Calcul et substitution :
Pour trouver le temps \( t_{acc} \) nécessaire pour atteindre la vitesse maximale \( v_{max} \), nous utilisons la relation entre vitesse, accélération, et temps :
\[ t_{acc} = \frac{v_{max}}{a} \]
Substituant les valeurs données,
\[ t_{acc} = \frac{5 \, \text{m/s}}{0.5 \, \text{m/s}^2} \] \[ t_{acc} = 10 \, \text{s} \]
Le convoyeur prend 10 secondes pour accélérer de zéro à sa vitesse maximale de 5 m/s avec une accélération constante de 0.5 m/s\(^2\).
2. Distance parcourue pendant l’accélération
Formule utilisée :
\[ s = \frac{1}{2} a t^2 \]
Calcul et substitution :
Pour calculer la distance parcourue pendant l’accélération :
\[ s_{acc} = \frac{1}{2} \times a \times t_{acc}^2 \]
Substituant les valeurs données,
\[ s_{acc} = \frac{1}{2} \times 0.5 \, \text{m/s}^2 \times (10 \, \text{s})^2 \] \[ s_{acc} = 25 \, \text{m} \]
La distance de 25 mètres est parcourue pendant les 10 secondes d’accélération. Ce calcul utilise la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré, où \( s \) est la distance, \( a \) l’accélération, et \( t \) le temps.
3. Temps de parcours total du convoyeur
Formules utilisées et calculs :
- Distance à vitesse constante :
\[ s_{const} = L – 2 \times s_{acc} \]
Substituant les valeurs données,
\[ s_{const} = 100 \, \text{m} – 2 \times 25 \, \text{m} \] \[ s_{const} = 50 \, \text{m} \]
- Temps à vitesse constante :
\[ t_{const} = \frac{s_{const}}{v_{max}} \]
Substituant les valeurs données,
\[ t_{const} = \frac{50 \, \text{m}}{5 \, \text{m/s}} \] \[ t_{const}= 10 \, \text{s} \]
- Temps total :
\[ t_{total} = t_{acc} + t_{const} + t_{dec} \]
Substituant \( t_{dec} = t_{acc} \),
\[ t_{total} = 10 \, \text{s} + 10 \, \text{s} + 10 \, \text{s} \] \[ t_{total} = 30 \, \text{s} \]
Le convoyeur parcourt la distance totale en 30 secondes, incluant les phases d’accélération, de mouvement à vitesse constante, et de décélération.
4. Distance parcourue pendant la phase de décélération
Utilisation de la symétrie du mouvement :
Calcul :
\[ s_{dec} = s_{acc} \] \[ s_{dec} = 25 \, \text{m} \]
La distance de décélération est identique à celle d’accélération en raison de la symétrie des paramètres de vitesse et d’accélération.
5. Analyse de la nécessité de la vitesse maximale
Réflexion sur une vitesse réduite :
Pour déterminer si une vitesse maximale est nécessaire, considérons une vitesse réduite à 3 m/s :
Nouveaux calculs :
\[ t_{acc} = \frac{3 \, \text{m/s}}{0.5 \, \text{m/s}^2} \] \[ t_{acc} = 6 \, \text{s} \]
\[ s_{acc} = \frac{1}{2} \times 0.5 \, \text{m/s}^2 \times (6 \, \text{s})^2 \] \[ s_{acc} = 9 \, \text{m} \]
\[ s_{const} = 100 \, \text{m} – 2 \times 9 \, \text{m} \] \[ s_{const} = 82 \, \text{m} \]
\[ t_{const} = \frac{82 \, \text{m}}{3 \, \text{m/s}} \] \[ t_{const} \approx 27.33 \, \text{s} \]
\[ t_{total} = 6 \, \text{s} + 27.33 \, \text{s} + 6 \, \text{s} \] \[ t_{total} = 39.33 \, \text{s} \]
Avec une vitesse réduite de 3 m/s, le temps total augmente à environ 39.33 secondes. Selon les exigences opérationnelles, cette augmentation de temps peut être acceptable, ce qui suggérerait que la vitesse maximale n’est pas strictement nécessaire.
Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage
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