Étude de la Pression Hydrostatique

Comprendre l’Étude de la Pression Hydrostatique

Dans le cadre de la conception d’une écluse fluviale, un ingénieur doit déterminer les forces exercées par l’eau sur les portes de l’écluse lorsqu’elles sont fermées. Cela est crucial pour garantir la sécurité et la stabilité de la structure. L’écluse est située sur une rivière en Europe où les variations saisonnières du niveau de l’eau peuvent être significatives.

Pour comprendre le Calcul de la Force Résultante de l’Eau, cliquez sur le lien.

Données:

Hauteur de l’eau côté amont (H₁) : 8 mètres.
Hauteur de l’eau côté aval (H₂) : 2 mètres.
Largeur de la porte de l’écluse (B) : 5 mètres.
Hauteur de la porte de l’écluse (H) : 10 mètres.
Densité de l’eau (ρ) : 1000 kg/m³.
Accélération due à la gravité (g) : 9.81 m/s².

Question:

Calculer les composantes horizontale et verticale de la force hydraulique exercée par l’eau sur une des portes de l’écluse.

Correction : Étude de la Pression Hydrostatique

Pour une porte d’écluse verticale, la pression hydrostatique s’exprime localement par

\[ p(z) = \rho\,g\,z \]

où \(z\) est la profondeur mesurée depuis la surface libre (la pression atmosphérique étant négligée ici).

Sur une paroi verticale, la force élémentaire est horizontale (la pression agit perpendiculairement à la surface). Dans cet exercice, l’écluse présente deux niveaux d’eau différents :

Côté amont : \(H_1 = 8\) m,
Côté aval : \(H_2 = 2\) m.

La porte a une largeur \(B = 5\) m et une hauteur \(H = 10\) m, mais la zone soumise à la pression se limite aux hauteurs d’eau effectives.
Ainsi, la force s’exerçant sur la face amont est due à une colonne d’eau de 8 m et celle sur la face aval à 2 m.

1. Calcul de la composante horizontale de la force

Sur une paroi verticale, la force horizontale résultante \(F_{\text{horiz}}\) sur une face est obtenue par intégration de la pression sur la surface immergée. Pour une hauteur d’eau \(h\) et une largeur \(B\), on a :

\[ F = \int_0^{h} p(z)\,B\,dz \] \[ F = \int_0^{h} \rho\,g\,z\,B\,dz \] \[ F = \rho\,g\,B\,\frac{h^2}{2} \]

Lorsque deux niveaux différents s’exercent de part et d’autre de la porte, la force nette s’obtient par la différence des forces :

\[ F_{\text{net}} = F_{\text{amont}} – F_{\text{aval}} \]

Données

Côté amont : \(h_1 = 8\) m
Côté aval : \(h_2 = 2\) m
Largeur de la porte : \(B = 5\) m
Densité de l’eau : \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\)
Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81\) m/s\(^2\)

Calcul

1. Force sur la face amont :

\[ F_{\text{amont}} = \rho\,g\,B\,\frac{h_1^2}{2} \] \[ F_{\text{amont}} = 1000 \times 9.81 \times 5 \times \frac{8^2}{2} \] \[ F_{\text{amont}} = 1000 \times 1569.6 \] \[ F_{\text{amont}} = 1\,569\,600\, \text{N} \]

2. Force sur la face aval :

\[ F_{\text{aval}} = \rho\,g\,B\,\frac{h_2^2}{2} \] \[ F_{\text{aval}} = 1000 \times 9.81 \times 5 \times \frac{2^2}{2} \] \[ F_{\text{aval}} = 1000 \times 98.1 \] \[ F_{\text{aval}} = 98\,100\, \text{N} \]

3. Force nette horizontale :

\[ F_{\text{net}} = F_{\text{amont}} – F_{\text{aval}} \] \[ F_{\text{net}} = 1\,569\,600 – 98\,100 \] \[ F_{\text{net}} = 1\,471\,500\ \text{N} \]

2. Calcul de la composante verticale de la force

Sur une paroi verticale, la pression hydrostatique s’exprime en \(p(z) = \rho\,g\,z\) et agit perpendiculairement à la surface (donc horizontalement).

Il n’y a pas de composante verticale de cette force sur une surface plane verticale, puisque la contribution de la pression s’annule dans la direction verticale.

Remarque :
Si la porte était inclinée ou si l’on considérait la force de poussée du fluide pour déterminer par exemple un moment (via le centre de pression), une décomposition en deux composantes pourrait être envisagée. Ici, l’hypothèse est que la porte est verticale, donc la force hydrostatique nette s’exerce horizontalement uniquement.