Conservation de l’Élan lors d’une Collision
Comprendre la Conservation de l’Élan lors d’une Collision
Une entreprise de transport teste la sécurité de ses véhicules en analysant les impacts lors des collisions.
Pour ce test, une voiture de masse \(m_1\) se déplace à une vitesse initiale \(v_{1i}\) et entre en collision avec un camion de masse \(m_2\) qui se déplace à une vitesse initiale \(v_{2i}\).
La collision est parfaitement inélastique, ce qui signifie que les deux véhicules se déplacent ensemble après l’impact à la même vitesse finale \(v_f\).
Pour comprendre le Mouvement Curviligne sur Route Inclinée, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Masse de la voiture, \(m_1 = 1500\, \text{kg}\)
- Vitesse initiale de la voiture, \(v_{1i} = 22\, \text{m/s}\) (environ 80 km/h)
- Masse du camion, \(m_2 = 4500\, \text{kg}\)
- Vitesse initiale du camion, \(v_{2i} = 15\, \text{m/s}\) (environ 54 km/h)
Questions:
1. Calculer la vitesse finale \(v_f\) des deux véhicules après la collision.
2. Déterminer la quantité de mouvement totale avant et après la collision pour vérifier la conservation de l’élan.
3. Évaluer l’impact énergétique en calculant la variation de l’énergie cinétique due à la collision.
Correction : Conservation de l’Élan lors d’une Collision
1. Calcul de la vitesse finale \(v_f\)
La conservation de l’élan stipule que l’élan total avant la collision doit être égal à l’élan total après la collision.
L’élan est défini comme le produit de la masse par la vitesse. Donc, pour nos deux véhicules, l’équation de conservation de l’élan s’écrit :
\[ (m_1 \times v_{1i}) + (m_2 \times v_{2i}) = (m_1 + m_2) \times v_f \]
Substituons les valeurs données :
\[ (1500\, \text{kg} \times 22\, \text{m/s}) + (4500\, \text{kg} \times 15\, \text{m/s}) = (1500\, \text{kg} + 4500\, \text{kg}) \times v_f \]
Calculons cela :
\[ 33000\, \text{kg} \cdot \text{m/s} + 67500\, \text{kg} \cdot \text{m/s} = 6000\, \text{kg} \times v_f \] \[ 100500\, \text{kg} \cdot \text{m/s} = 6000\, \text{kg} \times v_f \] \[ v_f = \frac{100500\, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{6000\, \text{kg}} \] \[ v_f = 16.75\, \text{m/s} \]
2. Vérification de la conservation de l’élan
Avant la collision, l’élan total est :
\[ 33000\, \text{kg} \cdot \text{m/s} + 67500\, \text{kg} \cdot \text{m/s} = 100500\, \text{kg} \cdot \text{m/s} \]
Après la collision, en utilisant la vitesse finale calculée :
\[ 6000\, \text{kg} \times 16.75\, \text{m/s} = 100500\, \text{kg} \cdot \text{m/s} \]
Les résultats montrent que l’élan est conservé, comme prévu par la loi de conservation de l’élan.
3. Calcul de la variation de l’énergie cinétique
L’énergie cinétique est calculée par la formule :
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
Calculons l’énergie cinétique avant et après la collision.
Avant la collision :
\[ \frac{1}{2} \times 1500\, \text{kg} \times (22\, \text{m/s})^2 + \frac{1}{2} \times 4500\, \text{kg} \times (15\, \text{m/s})^2 \] \[ = \frac{1}{2} \times 1500\, \text{kg} \times 484\, \text{m}^2/\text{s}^2 + \frac{1}{2} \times 4500\, \text{kg} \times 225\, \text{m}^2/\text{s}^2 \] \[ = 363000\, \text{Joules} + 506250\, \text{Joules} \] \[ = 869250\, \text{Joules} \]
Après la collision :
\[ \frac{1}{2} \times 6000\, \text{kg} \times (16.75\, \text{m/s})^2 \] \[ = \frac{1}{2} \times 6000\, \text{kg} \times 280.5625\, \text{m}^2/\text{s}^2 \] \[ = 841687.5\, \text{Joules} \]
Variation de l’énergie cinétique :
\[ \Delta E_k = 869250\, \text{Joules} – 841687.5\, \text{Joules} \] \[ \Delta E_k = 27562.5\, \text{Joules} \]
La perte d’énergie cinétique de 27,562.5 Joules est une conséquence de la nature inélastique de la collision, où une partie de l’énergie cinétique est convertie en autres formes d’énergie, comme l’énergie thermique ou l’énergie utilisée pour déformer les véhicules.
Conservation de l’Élan lors d’une Collision
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