Équation Différentielle Ordinaire
Comprendre l’équation Différentielle Ordinaire
Dans un problème de génie civil, vous êtes confronté à une situation où vous devez modéliser le refroidissement d’un matériau après un processus thermique intense.
La loi de refroidissement de Newton est applicable, qui stipule que le taux de changement de température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température du corps et celle de son environnement.
Données :
- Température initiale du matériau : \( T_0 = 200^\circ C \)
- Température ambiante constante : \( T_{\text{env}} = 30^\circ C \)
- Constante de refroidissement : \( k = 0.07 \) (unité appropriée)
Tâche :
1. Formulez l’équation différentielle qui modélise la situation.
2. Résolvez l’équation différentielle pour trouver l’expression de la température \( T(t) \) en fonction du temps \( t \).
3. Calculez la température du matériau après 10 minutes.
Correction : équation Différentielle Ordinaire
Étape 1 : Formulation de l’Équation Différentielle
La loi de refroidissement de Newton s’exprime par l’équation différentielle suivante :
\begin{equation}
\frac{dT}{dt} = -k(T – T_{\text{env}})
\end{equation}
où \( T \) est la température du matériau, \( T_{\text{env}} \) est la température ambiante, et \( k \) est la constante de refroidissement. Ici, \( T_{\text{env}} = 30^\circ C \) et \( k = 0.07 \).
L’équation devient donc :
\begin{equation}
\frac{dT}{dt} = -0.07(T – 30)
\end{equation}
Étape 2 : Résolution de l’Équation Différentielle
Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Pour la résoudre, réarrangeons-la pour séparer les variables \( T \) et \( t \) :
\begin{equation}
\frac{1}{T – 30} dT = -0.07 dt
\end{equation}
Intégrons les deux côtés :
\begin{equation}
\int \frac{1}{T – 30} dT = \int -0.07 dt
\end{equation}
Ce qui donne :
\begin{equation}
\ln |T – 30| = -0.07t + C
\end{equation}
où \( C \) est la constante d’intégration. Nous pouvons trouver \( C \) en utilisant la condition initiale \( T(0) = 200^\circ C \) :
\begin{equation}
\ln |200 – 30| = C
\end{equation} \begin{equation}
\ln 170 = C
\end{equation}
La solution générale de l’équation différentielle est donc :
\begin{equation}
\ln |T – 30| = -0.07t + \ln 170
\end{equation}
En résolvant pour \( T \), nous obtenons :
\begin{equation}
T(t) = 30 + 170e^{-0.07t}
\end{equation}
Étape 3 : Calcul de la Température Après 10 Minutes
Pour calculer la température après 10 minutes, convertissez 10 minutes en secondes (si nécessaire, selon les unités de \( k \)).
Ici, supposons que \( k \) est en minutes\(^{-1}\), donc \( t = 10 \) minutes.
\begin{equation}
T(10) = 30 + 170e^{-0.07 \times 10}
\end{equation}
Calculons cette valeur :
\begin{equation}
T(10) = 30 + 170e^{-0.7}
\end{equation} \begin{equation}
T(10) \approx 30 + 170 \times 0.4966
\end{equation}
\begin{equation}
T(10) \approx 30 + 84.42
\end{equation}
\begin{equation}
T(10) \approx 114.42^\circ C
\end{equation}
Ainsi, la température du matériau après 10 minutes est d’environ \( 114.42^\circ C \).
Équation Différentielle Ordinaire
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