Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
Comprendre le Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
Sophie est architecte et travaille sur la conception d’un nouveau parc triangulaire dans sa ville. Pour finaliser son projet, elle doit calculer la longueur d’une allée qui traversera le parc.
Le parc est conçu sous la forme d’un triangle rectangle.
Données :
- Le côté le plus long du triangle (l’hypoténuse), qui est l’allée que Sophie doit calculer, n’est pas encore connu.
- La longueur d’un des côtés adjacents à l’angle droit est de 80 mètres.
- L’autre côté adjacent à l’angle droit mesure 60 mètres.
Questions :
- Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’allée (l’hypoténuse).
- En supposant que Sophie souhaite ajouter une petite allée perpendiculaire à l’hypoténuse, à mi-chemin, calculez la longueur de cette petite allée si elle doit atteindre le côté opposé du triangle. Utilisez les propriétés des triangles semblables pour résoudre ce problème.
Correction : Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
Partie 1: Calcul de l’Hypoténuse (c)
Énoncé :
- Un côté adjacent à l’angle droit (AB) = 80 m
- L’autre côté adjacent à l’angle droit (AC) = 60 m
- L’hypoténuse (BC) = c (à calculer)
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Il s’exprime par la formule :
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Dans notre cas :
\[ c^2 = 80^2 + 60^2 \]
\[ c^2 = 6400 + 3600 \]
\[ c^2 = 10000 \]
En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation :
\[ c = \sqrt{10000} \]
\[ c = 100 \, \text{m} \]
La longueur de l’allée (l’hypoténuse) est de 100 mètres.
Partie 2: Calcul de la Longueur de la Petite Allée (d)
Énoncé :
- Petite allée perpendiculaire à l’hypoténuse (segment DE), à mi-chemin.
- Longueur DE = d (à calculer)
Nous utilisons ici les propriétés des triangles semblables. Le triangle ADE est semblable au triangle ABC car ils ont tous deux un angle droit et partagent l’angle en A, ce qui signifie que leurs côtés sont proportionnels.
La proportionnalité se traduit par :
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{AC} \]
AD est la moitié de l’hypoténuse (AB) car D est à mi-chemin, donc AD = 50 m.
Nous avons donc :
\[ \frac{50}{80} = \frac{d}{60} \]
En résolvant pour d :
\[ d = \frac{50 \times 60}{80} \]
\[ d = \frac{3000}{80} \]
\[ d = 37.5 \, \text{m} \]
La longueur de la petite allée (DE) est de 37.5 mètres.
Conclusion
Ces calculs démontrent l’application pratique du théorème de Pythagore et des propriétés des triangles semblables dans des situations réelles comme la conception d’un parc.
Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
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