Dérivation en Mathématiques Appliquées
Comprendre la dérivation en Mathématiques Appliquées
Imaginez que vous travaillez sur un projet de génie civil où vous devez concevoir une rampe d’accès pour un bâtiment.
La rampe doit être fonctionnelle pour les fauteuils roulants et sécuritaire pour tous les utilisateurs.
La pente de la rampe est décrite par la fonction \( f(x) \), où \( x \) est la distance horizontale en mètres à partir du point de départ de la rampe et \( f(x) \) est l’élévation en mètres.
Fonction donnée : La fonction qui décrit la pente de la rampe est :
\[ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x \]
Questions :
1. Calculez \( f'(x) \), la dérivée première de \( f(x) \). Ceci représente la pente de la rampe à un point \( x \) donné.
2. Déterminez les valeurs de \( x \) pour lesquelles la pente de la rampe est la plus raide. Ce sont les points où \( f'(x) \) est maximale.
3. Évaluez \( f'(x) \) à \( x = 2 \) mètres. Quelle est la pente de la rampe à cette distance ?
4. En vous basant sur vos calculs, discutez si la conception de la rampe est conforme aux normes de sécurité pour l’accès des fauteuils roulants (une pente maximale généralement acceptée est de 1:12, c’est-à-dire, pour chaque 12 mètres horizontaux, la rampe ne doit pas s’élever de plus de 1 mètre).
Correction : dérivation en Mathématiques Appliquées
1. Calcul de la dérivée première de \(f(x)\)
La fonction donnée est
\[ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x. \]
Pour trouver la dérivée première \(f'(x)\), nous appliquons les règles de dérivation :
- La dérivée de \(x^n\) est \(nx^{n-1}\).
- La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.
Donc, pour \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x\), nous avons :
- La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\).
- La dérivée de \(-6x^2\) est \(-12x\).
- La dérivée de \(9x\) est \(9\).
En combinant ces résultats, nous obtenons :
\[ f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 \]
2. Valeurs de \(x\) pour une pente maximale
La résolution détaillée de l’équation \( f'(x) = 0 \) pour la fonction \( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 \) s’effectue comme suit :
Nous cherchons à résoudre l’équation quadratique \( 3x^2 – 12x + 9 = 0 \). Cette équation peut être résolue soit par factorisation, soit par la formule quadratique.
Examinons les deux méthodes :
Méthode de Factorisation:
Nous cherchons à factoriser l’équation \( 3x^2 – 12x + 9 = 0 \). En observant attentivement les coefficients, nous pouvons essayer de réécrire l’équation sous la forme \( (ax+b)^2 = 0 \).
Cependant, dans ce cas, une factorisation simple n’est pas évidente. Nous passons donc à la méthode de la formule quadratique.
Méthode de la Formule Quadratique
La formule quadratique pour une équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) est donnée par :
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Dans notre cas, \( a = 3 \), \( b = -12 \), et \( c = 9 \). Appliquons donc cette formule :
\[ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 108}}{6} \]
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6} \]
\[ x = \frac{12 \pm 6}{6} \]
Cela nous donne deux solutions :
\[ x = \frac{12 + 6}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
\[ x = \frac{12 – 6}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Ainsi, les points critiques sont à \( x = 1 \) et \( x = 3 \). Ce sont les points où la pente de la rampe est la plus raide selon la dérivée première de la fonction donnée.
3. Évaluation de \(f'(x)\) à \(x = 2\) mètres
Pour évaluer la pente de la rampe à une distance de 2 mètres, nous utilisons la dérivée première de la fonction $f(x)$, qui est \(f'(x) = 3x^2 – 12x + 9\). Nous devons calculer \(f'(2)\).
Voici les étapes détaillées pour ce calcul :
Remplacer \(x\) par 2 dans \(f'(x)\):
\[ f'(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 9 \]
Calculer \((2)^2\):
\[ 2^2 = 4 \]
Donc, \(f'(2) = 3 \times 4 – 12 \times 2 + 9\)
Multiplier \(3 \times 4\):
\[ 3 \times 4 = 12 \]
Donc, \(f'(2) = 12 – 12 \times 2 + 9\)
Multiplier \(12 \times 2\):
\[ 12 \times 2 = 24 \]
Donc, \(f'(2) = 12 – 24 + 9\)
Soustraire 24 de 12 et ajouter 9:
\[ 12 – 24 + 9 = -12 + 9 = -3 \]
Donc, la pente de la rampe à une distance de 2 mètres est \(f'(2) = -3\) Cela signifie que pour chaque mètre horizontal, la rampe descend de 3 mètres, ce qui est effectivement une pente très raide.
Dérivation en Mathématiques Appliquées
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