Matrices et Déterminants

Comprendre le calcul des matrices et déterminants

Énoncé:

Considérez la matrice \( A \) suivante :

\[ A = \begin{pmatrix}
4 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -4 \\
2 & 1 & 8
\end{pmatrix} \]

1. Calculez le déterminant de la matrice \( A \).

2. Trouvez l’inverse de la matrice \( A \), si elle existe.

3. Considérez le système d’équations linéaires suivant, où \( X \) est la matrice des inconnues :

\[ A \cdot X = B \]

avec

\[ B = \begin{pmatrix}
12 \\
-25 \\
32
\end{pmatrix} \]

Résolvez pour \( X \) en utilisant la matrice inverse de \( A \), si possible.

4. Interprétez le résultat du point 3 en termes d’applications possibles en génie civil.

Correction : matrices et déterminants

1. Calcul du déterminant de la matrice \( A \)

La matrice \( A \) est :
\[
A = \begin{pmatrix}
4 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -4 \\
2 & 1 & 8
\end{pmatrix}
\]

Le déterminant de \( A \) est calculé comme suit :

\[\text{det}(A) = 4(6 \times 8 – (-4) \times 1) – (-2)(3 \times 8 – (-4) \times 2) + 1(3 \times 1 – 6 \times 2)\] \[ \text{det}(A) = 4 \times 52 + 2 \times 32 – 9 \] \[ \text{det}(A) = 263 \]

2. Trouver l’inverse de la matrice \( A \)

Le déterminant de \( A \) est non nul (263), donc \( A \) est inversible. L’inverse de \( A \), notée \( A^{-1} \), est :
\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A)
\]
Le calcul de l’inverse donne :

\(A^{-1} = \begin{pmatrix}
0.19771863 & 0.06463878 & 0.00760456 \\
-0.121673 & 0.11406844 & 0.07224335 \\
-0.03422053 & -0.03041825 & 0.11406844
\end{pmatrix}\)

3. Résolution du système \( A \cdot X = B \)

Avec \( B = \begin{pmatrix} 12 \\ -25 \\ 32 \end{pmatrix} \), nous résolvons pour \( X \) en utilisant \( X = A^{-1} \cdot B \) :

\(X = \begin{pmatrix}
0.19771863 & 0.06463878 & 0.00760456 \\
-0.121673 & 0.11406844 & 0.07224335 \\
-0.03422053 & -0.03041825 & 0.11406844
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ -25 \\ 32 \end{pmatrix}\)

Ce qui donne :
\[
X = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

4. Interprétation en Génie Civil

Dans un contexte de génie civil, ce système d’équations pourrait représenter, par exemple, un équilibre de forces dans une structure tridimensionnelle, où \( X \) représente les forces ou les contraintes dans différentes parties de la structure.

L’inverse de la matrice \( A \) pourrait représenter la relation entre les forces appliquées et les réponses de la structure, telles que les déplacements ou les déformations.

Matrices et déterminants