Matrices et Déterminants

Matrices et Déterminants

Comprendre le calcul des matrices et déterminants

Énoncé:

Considérez la matrice A suivante :

    \[ A = \begin{pmatrix}4 & -2 & 1 \\3 & 6 & -4 \\2 & 1 & 8\end{pmatrix} \]

1. Calculez le déterminant de la matrice A.

2. Trouvez l’inverse de la matrice A, si elle existe.

3. Considérez le système d’équations linéaires suivant, où X est la matrice des inconnues :

    \[ A \cdot X = B \]

avec

    \[ B = \begin{pmatrix}12 \\-25 \\32\end{pmatrix} \]

Résolvez pour X en utilisant la matrice inverse de A, si possible.

4. Interprétez le résultat du point 3 en termes d’applications possibles en génie civil.

Correction : matrices et déterminants

1. Calcul du déterminant de la matrice A

La matrice A est :

    \[A = \begin{pmatrix}4 & -2 & 1 \\3 & 6 & -4 \\2 & 1 & 8\end{pmatrix}\]

Le déterminant de A est calculé comme suit :

\text{det}(A) = 4(6 \times 8 - (-4) \times 1) - (-2)(3 \times 8 - (-4) \times 2) + 1(3 \times 1 - 6 \times 2)

    \[\text{det}(A) = 4 \times 52 + 2 \times 32 - 9\]


    \[\text{det}(A) = 263\]

2. Trouver l’inverse de la matrice A

Le déterminant de A est non nul (263), donc A est inversible. L’inverse de A, notée A^{-1}, est :

    \[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A)\]


Le calcul de l’inverse donne :

A^{-1} = \begin{pmatrix}0.19771863 & 0.06463878 & 0.00760456 \\-0.121673 & 0.11406844 & 0.07224335 \\-0.03422053 & -0.03041825 & 0.11406844\end{pmatrix}

3. Résolution du système A \cdot X = B

Avec B = \begin{pmatrix} 12 \\ -25 \\ 32 \end{pmatrix}, nous résolvons pour X en utilisant X = A^{-1} \cdot B :

X = \begin{pmatrix}0.19771863 & 0.06463878 & 0.00760456 \\-0.121673 & 0.11406844 & 0.07224335 \\-0.03422053 & -0.03041825 & 0.11406844\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ -25 \\ 32 \end{pmatrix}

Ce qui donne :

    \[X = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

4. Interprétation en Génie Civil

Dans un contexte de génie civil, ce système d’équations pourrait représenter, par exemple, un équilibre de forces dans une structure tridimensionnelle, où X représente les forces ou les contraintes dans différentes parties de la structure.

L’inverse de la matrice A pourrait représenter la relation entre les forces appliquées et les réponses de la structure, telles que les déplacements ou les déformations.

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