Analyse des Poutres Encastrées

Analyse des Poutres Encastrées

Introduction sur l’analyse des poutres encastrées

Une poutre encastrée est une poutre qui est fixée à ses deux extrémités, c’est-à-dire qu’elle ne peut ni bouger ni pivoter à ces points.

En raison de cette condition d’encastrement, les poutres encastrées peuvent supporter des charges importantes.

Hypothèses de base

  • La poutre est homogène et isotrope.
  • Les matériaux sont élastiques.
  • La flexion est plane.
  • La déformation de la poutre est petite.

Moment Fléchissant

Le moment fléchissant M est une mesure de l’effet de flexion d’une force sur une poutre.

Pour une poutre encastrée sous une charge répartie w constante:

    \[ M = \frac{w \times l^2}{12} \]


l est la longueur de la poutre.

Flèche d’une poutre

La flèche est la déformation verticale de la poutre due à la charge appliquée.

Pour une poutre encastrée sous une charge répartie constante, la flèche max \delta_{\text{max}} est donnée par:

    \[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 w l^4}{384 E I} \]


E est le module d’élasticité du matériau de la poutre et I est le moment d’inertie de la section transversale de la poutre.

Moment d’inertie

Le moment d’inertie est une mesure de la capacité d’une section transversale à résister à la flexion.

Pour un rectangle de base b et de hauteur h:

    \[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Exemples : 

Une poutre encastrée de 4m de longueur, de section rectangulaire de 100mm de base et 200mm de hauteur, est soumise à une charge uniformément répartie de 5kN/m. Calculer le moment fléchissant et la flèche maximum.

Solution :

    \[ M = \frac{5 \times 4^2}{12} = 6.67 \text{kNm} \]

Pour le moment d’inertie:

    \[ I = \frac{0.1 \times 0.2^3}{12} = 6.67 \times 10^{-6} \text{m}^4 \]

La flèche:

    \[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5 \times 4^4}{384 \times E \times 6.67 \times 10^{-6}} \]

Conclusion

Les poutres encastrées sont fréquemment utilisées dans les constructions en raison de leur capacité à supporter des charges importantes sans déformations excessives.

L’analyse de ces poutres nécessite une compréhension des principes fondamentaux de la mécanique des matériaux et des structures.

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