Analyse des Poutres Encastrées
Introduction sur l’analyse des poutres encastrées
Une poutre encastrée est une poutre qui est fixée à ses deux extrémités, c’est-à-dire qu’elle ne peut ni bouger ni pivoter à ces points.
En raison de cette condition d’encastrement, les poutres encastrées peuvent supporter des charges importantes.
Hypothèses de base
- La poutre est homogène et isotrope.
- Les matériaux sont élastiques.
- La flexion est plane.
- La déformation de la poutre est petite.
Moment Fléchissant
Le moment fléchissant \(M\) est une mesure de l’effet de flexion d’une force sur une poutre.
Pour une poutre encastrée sous une charge répartie \(w\) constante:
\[ M = \frac{w \times l^2}{12} \]
où \(l\) est la longueur de la poutre.
Flèche d’une poutre
La flèche est la déformation verticale de la poutre due à la charge appliquée.
Pour une poutre encastrée sous une charge répartie constante, la flèche max \(\delta_{\text{max}}\) est donnée par:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 w l^4}{384 E I} \]
où \(E\) est le module d’élasticité du matériau de la poutre et $I$ est le moment d’inertie de la section transversale de la poutre.
Moment d’inertie
Le moment d’inertie est une mesure de la capacité d’une section transversale à résister à la flexion.
Pour un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\):
\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
Exemples :
Une poutre encastrée de 4m de longueur, de section rectangulaire de 100mm de base et 200mm de hauteur, est soumise à une charge uniformément répartie de 5kN/m. Calculer le moment fléchissant et la flèche maximum.
Solution :
\[ M = \frac{5 \times 4^2}{12} = 6.67 \text{kNm} \]
Pour le moment d’inertie:
\[ I = \frac{0.1 \times 0.2^3}{12} = 6.67 \times 10^{-6} \text{m}^4 \]
La flèche:
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \times 5 \times 4^4}{384 \times E \times 6.67 \times 10^{-6}} \]
Conclusion
Les poutres encastrées sont fréquemment utilisées dans les constructions en raison de leur capacité à supporter des charges importantes sans déformations excessives.
L’analyse de ces poutres nécessite une compréhension des principes fondamentaux de la mécanique des matériaux et des structures.
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