Le flambement des poutres

Le flambement des poutres

Comprendre le flambement des poutres

Le flambement des poutres est un mode de défaillance critique qui peut se produire lorsque des éléments élancés sont soumis à des charges de compression axiales.

C’est un phénomène où la poutre ou la colonne s’écarte de sa position initiale sous l’effet de charges axiales critiques, menant potentiellement à une défaillance catastrophique.

Ce comportement est plus fréquent dans les éléments longs et minces (avec un grand rapport longueur/diamètre).

Fondements Théoriques du Flambement

Le flambement est principalement régi par l’équation différentielle d’Euler pour les colonnes élastiques parfaites. Cette théorie a été développée par Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Formule d’Euler pour le Flambement

La charge critique de flambement (la charge maximale que la colonne peut supporter avant de flamber) est donnée par la formule d’Euler:

(1)   \begin{equation*}P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}\end{equation*}

où:

  • P_{cr} est la charge critique de flambement (N ou lb),
  • E est le module d’élasticité du matériau de la poutre (Pa ou psi),
  • I est le moment d’inertie de la section transversale de la poutre (m^4 ou in^4),
  • L est la longueur effective de la poutre (m ou in), et
  • K est le coefficient de longueur effective, qui dépend des conditions de support aux extrémités de la poutre:
    Pour les deux extrémités encastrées, K = 0.5,
    Pour une extrémité encastrée et une extrémité libre, K = 2.0,
    Pour les deux extrémités articulées (cas classique), K = 1.0,
    Pour une extrémité libre et une extrémité articulée, K = 1.0 (mais la colonne est considérée comme étant de longueur 2L).

Facteurs Influant sur le Flambement

  • Moment d’inertie (I): Un moment d’inertie plus grand indique une section transversale plus résistante au flambement.
  • Longueur de la colonne (L): Plus la colonne est longue, plus la charge critique de flambement est faible.
  • Module d’élasticité (E): Un matériau plus rigide a un module d’élasticité plus élevé, ce qui augmente la charge critique de flambement.
  • Conditions de support: Les conditions de support déterminent la valeur de K, affectant ainsi la charge critique.

Limites de la Formule d’Euler

  • La formule est valide seulement pour les cas où la déformation reste dans le domaine élastique du matériau.
  • Elle ne prend pas en compte les imperfections initiales de la poutre, qui peuvent réduire la charge critique de flambement en pratique.
  • Elle suppose que la charge est parfaitement axiale et que la poutre est parfaitement droite avant l’application de la charge.

Exemples de Calcul

Exemple 1: Colonne Articulée aux Deux Extrémités

Pour une colonne d’acier avec les propriétés suivantes:

  • Module d’élasticité, E = 200 GPa,
  • Moment d’inertie, I = 8000 cm^4,
  • Longueur, L = 2 m (200 cm),
  • Conditions de support, K = 1.0 (deux extrémités articulées),

La charge critique de flambement est:

P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 200 \times 10^9 \text{ Pa} \times 8000 \times 10^{-8} \text{ m}^4}{(1.0 \times 2 \text{ m})^2}

    \[ P_{cr} \approx 3.947 \times 10^5 \text{ N} \]

Exemple 2: Colonne avec une Extrémité Encastrée et une Extrémité Libre

En reprenant les mêmes propriétés de matériaux et de section, mais avec un coefficient de longueur effective K = 2.0, la charge critique de flambement deviendrait beaucoup plus faible à cause de la longueur effective doublée:

P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 200 \times 10^9 \text{ Pa} \times 8000 \times 10^{-8} \text{ m}^4}{(2.0 \times 2 \text{ m})^2}

    \[ P_{cr} \approx 0.987 \times 10^5 \text{ N}\]

Le flambement est un phénomène complexe, et dans les applications pratiques, les ingénieurs doivent souvent utiliser des méthodes de conception plus conservatrices ou des analyses numériques pour évaluer la charge critique de flambement, en prenant en compte les défauts de fabrication, les effets de la charge hors axe et d’autres facteurs non linéaires.

Le flambement des poutres

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