Vérifier le renversement d’un mur
Comprendre comment vérifier le renversement d’un mur de soutènement
Dans une zone résidentielle, il est prévu de construire un nouveau mur de soutènement afin de stabiliser un talus. Vous devez vérifier la stabilité du mur par rapport au renversement en prenant en compte les actions des forces latérales dues au sol, à une surcharge uniformément répartie, ainsi que l’impact éventuel d’une activité sismique faible.
Données de l’exercice :
-
Caractéristiques du mur :
- Hauteur du mur : 6 m
- Largeur de la base : 2,5 m
- Poids propre (ou masse volumique) du mur : 25 kN/m³
-
Propriétés du sol :
- Poids volumique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Angle de frottement interne (φ) : 30°
- Cohésion du sol : 15 kPa
-
Charges supplémentaires :
- Surcharge uniforme appliquée derrière le mur : 10 kN/m²
- Hauteur de la surcharge : 1,5 m (au-dessus du niveau initial du sol)
-
Conditions environnementales :
- Zone à faible activité sismique
Questions :
1. Calcul de la force de renversement :
- Déterminer la poussée active du sol sur le mur en utilisant le coefficient de poussée active, \(K_a\), et en considérant une distribution triangulaire de la pression.
- Évaluer l’effet de la surcharge uniformément répartie en appliquant le même coefficient \(K_a\).
2. Calcul de la force (moment) de stabilité :
- Calculer le poids total du mur et déterminer le moment résistant généré par ce poids, en supposant que la résultante s’exerce au centre de gravité de la base.
3. Évaluation de la sécurité du mur :
- Comparer le moment résistant aux moments de renversement en utilisant un facteur de sécurité minimal de 1,5.
4. Analyse de l’impact sismique :
- Intégrer l’effet d’une activité sismique faible (en appliquant un coefficient sismique horizontal, par exemple \(k_h = 0,10\)) sur la stabilité du mur.
- Recalculer le moment de renversement en incluant la force sismique additionnelle et réévaluer le facteur de sécurité.
5. Propositions d’amélioration :
- Si le facteur de sécurité calculé sous l’effet sismique est insuffisant, proposer des modifications (augmentation de la largeur de la base, renforcement du mur, optimisation de la forme, etc.) afin d’améliorer la stabilité.
Correction : vérifier le renversement d’un mur
1. Calcul de la Force de Renversement
1.1. Poussée Active de la Terre (due au poids du sol)
a. Détermination du coefficient de poussée active, \(K_a\):
Pour un sol ayant un angle de frottement interne \(\phi = 30^\circ\) :
\[ K_a = \tan^2(45^\circ – \frac{\phi}{2}) \] \[ K_a = \tan^2(45^\circ – 15^\circ) \] \[ K_a = \tan^2(30^\circ) \] \[ K_a \approx 0,333 \]
b. Calcul de la résultante de la poussée due au sol:
La formule de la poussée active (distribution triangulaire) :
\[ P_{\text{sol}} = \frac{1}{2}\, K_a\, \gamma\, H^2 \]
Avec :
- γ = 18 kN/m³ (poids volumique du sol)
- H = 6 m (hauteur du mur)
On obtient :
\[ P_{\text{sol}} = \frac{1}{2}\times0,333\times18\times6^2 \] \[ P_{\text{sol}} = 0,5 \times 0,333 \times 18 \times 36 \] \[ P_{\text{sol}} \approx 107,9 \, \text{kN/m} \]
c. Moment d’action (par effet de levier) de cette poussée:
La résultante d’une distribution triangulaire s’applique à \(\frac{1}{3}\) de la hauteur du mur (à partir de la base) :
\[ M_{\text{sol}} = P_{\text{sol}} \times \frac{H}{3} \] avec \[ \frac{H}{3} = \frac{6}{3} = 2 \, \text{m} \]
Ainsi :
\[ M_{\text{sol}} \approx 107,9 \times 2 \] \[ M_{\text{sol}}= 215,8 \, \text{kN·m} \]
1.2. Poussée Due à la Surcharge
a. Calcul de la surcharge active effective:
La surcharge uniforme \(q = 10\) kN/m\(^2\) est appliquée sur une hauteur de 1,5 m. La pression effective en poussée est modulée par le coefficient \(K_a\) :
\[ P_{\text{surcharge}} = K_a \times q \times \text{hauteur surcharge} \] \[ P_{\text{surcharge}} = 0,333 \times 10 \times 1,5 \] \[ P_{\text{surcharge}} \approx 5 \, \text{kN/m} \]
b. Moment associé à la surcharge:
La surcharge, étant uniforme sur la hauteur de 1,5 m, a son action résultante placée au milieu de cette épaisseur, soit à 0,75 m au-dessus du niveau du sol. Le bras de levier, mesuré à partir de la base du mur (axe de rotation), est alors :
\[ a_{\text{surcharge}} = H – 0,75 \] \[ a_{\text{surcharge}} = 6 – 0,75 \] \[ a_{\text{surcharge}} = 5,25 \, \text{m} \]
Le moment est donc :
\[ M_{\text{surcharge}} = P_{\text{surcharge}} \times a_{\text{surcharge}} \] \[ M_{\text{surcharge}} \approx 5 \times 5,25 \] \[ M_{\text{surcharge}} = 26,25 \, \text{kN·m} \]
1.3. Moment Total de Renversement
En additionnant les deux contributions :
\[ M_{\text{renversement}} = M_{\text{sol}} + M_{\text{surcharge}} \] \[ M_{\text{renversement}} \approx 215,8 + 26,25 \] \[ M_{\text{renversement}} \approx 242,05 \, \text{kN·m} \]
2. Calcul de la Force de Stabilité
2.1. Poids du Mur
Le mur est considéré comme un bloc rectangulaire de hauteur 6 m et de largeur de base 2,5 m.
- Volume par mètre de longueur :
\[ V = 2,5 \, \text{m} \times 6 \, \text{m} \] \[ V = 15 \, \text{m}^2 \quad (\text{par mètre linéaire}) \]
- Poids du mur :
\[ W = V \times \text{masse volumique} \] \[ W = 15 \times 25 \] \[ W = 375 \, \text{kN/m} \]
2.2. Moment Résistant Offert par le Poids
Pour un bloc rectangulaire, la résultante du poids s’exerce au centre de gravité de la base.
- Distance entre le point d’application de W et l’axe de rotation (au niveau du talon ou toe) :
On admet ici que le mur est équilibré sur toute sa base, et que le centre de gravité se situe à la moitié de la largeur de base :
\[ d = \frac{2,5}{2} = 1,25 \, \text{m} \]
- Moment résistant :
\[ M_{\text{résistant}} = W \times d \] \[ M_{\text{résistant}} = 375 \times 1,25 \] \[ M_{\text{résistant}} = 468,75 \, \text{kN·m} \]
Note : D’autres contributions (telles que la friction au sol) peuvent renforcer la stabilité en cas de glissement, mais pour le contrôle du renversement, le moment dû au poids est l’élément principal.
3. Évaluation de la Sécurité
Le facteur de sécurité (FS) par rapport au renversement se calcule comme :
\[ FS = \frac{M_{\text{résistant}}}{M_{\text{renversement}}} \] \[ FS = \frac{468,75}{242,05} \approx 1,94 \]
Ce résultat est supérieur au critère minimal de 1,5, ce qui indique que le mur est stable en l’état sous charges statiques.
4. Impact Sismique
En zone sismique (même avec une faible activité), des forces additionnelles (inertie) s’ajoutent aux actions latérales.
- Hypothèse : utilisation d’un coefficient sismique horizontal \( k_h = 0,10 \).
Force sismique additionnelle :
\[ F_{\text{sismique}} = k_h \times W \] \[ F_{\text{sismique}} = 0,10 \times 375 \] \[ F_{\text{sismique}} = 37,5 \, \text{kN/m} \]
Cette force agit approximativement au centre de hauteur du mur, soit à 3 m du bas.
Moment additionnel dû aux actions sismiques :
\[ M_{\text{sismique}} = F_{\text{sismique}} \times 3 \] \[ M_{\text{sismique}} \approx 37,5 \times 3 \] \[ M_{\text{sismique}} = 112,5 \, \text{kN·m} \]
Nouveau moment total de renversement :
\[ M’_{\text{renversement}} = M_{\text{renversement}} + M_{\text{sismique}} \] \[ M’_{\text{renversement}} \approx 242,05 + 112,5 \] \[ M’_{\text{renversement}} \approx 354,55 \, \text{kN·m} \]
Nouveau facteur de sécurité :
\[ FS’ = \frac{M_{\text{résistant}}}{M’_{\text{renversement}}} \] \[ FS’ = \frac{468,75}{354,55} \approx 1,32 \]
Ce FS est inférieur au critère de 1,5, indiquant que sous l’effet sismique, le mur n’offre pas une marge de sécurité suffisante.
5. Solutions d’Amélioration
Si l’analyse sismique montre un facteur de sécurité insuffisant (ici 1,32 < 1,5), plusieurs solutions peuvent être envisagées :
-
Augmenter la largeur de la base
Une base plus large augmente le bras de levier du poids, rehaussant ainsi le moment résistant. -
Augmenter le poids du mur
En utilisant un matériau plus dense ou en ajoutant un masse additionnelle (par exemple un « clou » en béton sous forme de masse additionnelle ou une clé de fondation), on augmente W et donc \(M_{\text{résistant}}\).
-
Optimiser la géométrie du mur
Une forme trapézoïdale (avec un talon plus large que le heel) permet d’améliorer la stabilité au renversement. -
Améliorer l’adhérence au sol
En augmentant la friction entre la base du mur et le sol (par exemple en traitant la surface de contact ou en utilisant des ancrages), on accroît la résistance globale au glissement et parfois indirectement à la rotation. -
Implanter des renforts ou géosynthétiques
L’ajout de géogrilles ou d’ancrages dans le sol peut redistribuer les charges et augmenter la résistance face aux forces sismiques.
Conclusion
- Calcul statique : Le mur présente un facteur de sécurité d’environ 1,94 en l’état, ce qui est satisfaisant par rapport au critère minimal de 1,5.
- Impact sismique : L’introduction d’une force sismique (avec \( k_h = 0,10 \)) réduit le FS à environ 1,32, insuffisant pour la sécurité.
- Recommandations : Des modifications (augmentation de la base, renforcement du mur ou amélioration de l’adhérence) sont nécessaires pour assurer la stabilité en zone sismique.
Vérifier le renversement d’un mur de soutènement
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