Vérification des conditions d’auto-curage
Comprendre la Vérification des conditions d’auto-curage
Vous êtes ingénieur dans une municipalité chargée de la conception d’un réseau d’assainissement pour un nouveau quartier résidentiel. Vous devez vous assurer que les canalisations sont conçues pour maintenir une vitesse d’écoulement suffisante pour prévenir la sédimentation et garantir l’auto-curage.
Pour comprendre l’Optimisation de l’Infiltration des Eaux Traitées, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Diamètre de la canalisation (D) : 300 mm
- Pente de la canalisation (I) : 0.5%
- Coefficient de rugosité de Manning (n) : 0.013 (typique pour un tuyau en PVC)
- Débit moyen prévu (Q) : 0.25 m³/s
Questions:
1. Calculez la section mouillée (A) et le périmètre mouillé (P) pour une hauteur d’eau estimée à 70% du diamètre.
2. Déterminez la vitesse d’écoulement (V) avec ces valeurs.
3. Évaluez si le tronçon respecte les conditions d’auto-curage.
4. Quelles modifications suggérez-vous si les conditions ne sont pas remplies?
Correction : Vérification des conditions d’auto-curage
1. Calcul de la section mouillée \(A\) et du périmètre mouillé \(P\)
Données géométriques
- Diamètre de la canalisation :
\(D = 0,3\;\text{m} \quad \Rightarrow\) Rayon : \(R = \frac{D}{2} = 0,15\;\text{m}\).
- Hauteur d’eau :
\(h = 0,21\;\text{m}\).
Astuce géométrique :
Comme \(h > R\) (0,21 m > 0,15 m), le canal est rempli à plus de la moitié de sa section. Pour déterminer l’aire mouillée, il est commode de calculer d’abord l’aire totale du cercle puis de soustraire celle du segment non rempli (la portion « d’air » située en haut).
Calcul de l’aire de la section mouillée
1. Aire totale du cercle :
\[ A_{\text{total}} = \pi R^2 \] \[ A_{\text{total}} = \pi (0,15)^2 \] \[ A_{\text{total}} \approx \pi\times 0,0225 \] \[ A_{\text{total}} \approx 0,07069\;\text{m}^2\,. \]
2. Aire du segment non rempli (zone d’air) :
La hauteur du segment non rempli est
\[ h_{\text{air}} = D – h \] \[ h_{\text{air}} = 0,3 – 0,21 \] \[ h_{\text{air}} = 0,09\;\text{m}\,. \]
La formule de l’aire d’un segment circulaire de hauteur \(h_{\text{air}}\) dans un cercle de rayon \(R\) est :
\[ A_{\text{segment}} = R^2\,\arccos\!\Bigl(\frac{R-h_{\text{air}}}{R}\Bigr) – (R-h_{\text{air}})\,\sqrt{2Rh_{\text{air}}-h_{\text{air}}^2}\,. \]
Calculons les termes intermédiaires :
- \(R – h_{\text{air}} = 0,15 – 0,09 = 0,06\;\text{m}\).
- Le rapport : \(\frac{R-h_{\text{air}}}{R} = \frac{0,06}{0,15} = 0,4\).
Alors,
\[ \arccos(0,4) \approx 1,1593\;\text{rad}\,. \]
- Calcul de \( \sqrt{2Rh_{\text{air}}-h_{\text{air}}^2} \) :
\[ 2Rh_{\text{air}} – h_{\text{air}}^2 = 2\times 0,15\times 0,09 – (0,09)^2 \] \[ = 0,027 – 0,0081 = 0,0189\,, \]
\[ \sqrt{0,0189} \approx 0,1375\;\text{m}\,. \]
Ainsi,
\[ A_{\text{segment}} = (0,15)^2\times 1,1593 – 0,06\times 0,1375\,. \]
\[ (0,15)^2 = 0,0225,\quad \text{donc} \quad 0,0225\times 1,1593 \approx 0,02608\;\text{m}^2\,, \]
\[ 0,06\times 0,1375 = 0,00825\;\text{m}^2\,.\]
\[\Longrightarrow A_{\text{segment}} \approx 0,02608 – 0,00825 = 0,01783\;\text{m}^2\,.\]
3. Aire mouillée \(A\) :
\[ A = A_{\text{total}} – A_{\text{segment}} \] \[ A \approx 0,07069 – 0,01783 \] \[ A = 0,05286\;\text{m}^2\,. \]
Calcul du périmètre mouillé \(P\)
Pour un canal circulaire en écoulement libre, le périmètre mouillé correspond à la longueur de l’arc en contact avec l’eau. Lorsqu’on est à plus de la moitié plein, il est pratique de calculer l’angle central associé à la zone mouillée.
1. Détermination de l’angle central mouillé :
Lorsque \(h > R\), l’angle associé à la portion non mouillée (zone d’air) est
\[ \theta_{\text{air}} = 2\,\arccos\!\Bigl(\frac{h-R}{R}\Bigr)\,, \]
où
\[ h – R = 0,21 – 0,15 = 0,06\;\text{m} \quad \text{et} \quad \frac{h-R}{R} = \frac{0,06}{0,15} = 0,4\,. \]
Donc,
\[ \arccos(0,4) \approx 1,1593\;\text{rad}\quad \Longrightarrow \quad \theta_{\text{air}} \approx 2\times 1,1593 = 2,3186\;\text{rad}\,. \]
La portion mouillée correspond alors à :
\[ \theta_{\text{eau}} = 2\pi – \theta_{\text{air}} \] \[ \theta_{\text{eau}} \approx 6,2832 – 2,3186 \] \[ \theta_{\text{eau}} = 3,9646\;\text{rad}\,. \]
2. Calcul du périmètre mouillé :
\[ P = R \times \theta_{\text{eau}} \] \[ P \approx 0,15\times 3,9646 \] \[ P \approx 0,5947\;\text{m}\,. \]
2. Calcul de la vitesse d’écoulement \(V\)
La vitesse d’écoulement en régime permanent peut être estimée à l’aide de la formule de Manning :
\[ V = \frac{1}{n}\,R_h^{\,2/3}\,\sqrt{I}\,, \]
où le rayon hydraulique \(R_h\) est défini par
\[ R_h = \frac{A}{P}\,. \]
Calcul du rayon hydraulique
\[ R_h = \frac{0,05286}{0,5947} \approx 0,08898\;\text{m}\,. \]
Application de la formule de Manning
1. Calcul de \(R_h^{\,2/3}\) :
Une méthode consiste à calculer la racine cubique de \(R_h\) puis d’élever le résultat au carré.
\[ R_h^{1/3} \approx \sqrt[3]{0,08898} \approx 0,447\,, \]
donc
\[ R_h^{\,2/3} \approx (0,447)^2 \approx 0,200\,. \]
La racine carrée de la pente :
\[ \sqrt{I} = \sqrt{0,005} \approx 0,07071\,. \]
Substitution dans la formule de Manning :
\[ V = \frac{1}{0,013}\times 0,200\times 0,07071 \,. \]
Or,
\[ \frac{1}{0,013} \approx 76,92\,. \]
Ainsi,
\[ V \approx 76,92\times 0,200\times 0,07071 \,. \]
Calculons le produit intermédiaire :
\[ 0,200\times 0,07071 = 0,014142\,, \]
puis
\[ V \approx 76,92\times 0,014142 \approx 1,088\;\text{m/s}\,. \]
Nous pouvons arrondir et écrire :
\[ V\approx 1,09\;\text{m/s}\,. \]
3. Vérification des conditions d’auto‐curage
En conception des réseaux d’assainissement, il est courant de retenir qu’une vitesse minimale d’environ \(0,6\;\text{m/s}\) est nécessaire pour assurer l’auto‐curage (c’est-à-dire pour éviter la sédimentation).
Dans notre cas, la vitesse calculée est :
\[ V\approx 1,09\;\text{m/s}\,, \]
ce qui est largement supérieur au minimum recommandé de \(0,6\;\text{m/s}\).
Conclusion : Le tronçon considéré respecte bien la condition d’auto‐curage.
4. Modifications à envisager si les conditions d’auto‐curage n’étaient pas remplies
Si, par exemple, le calcul avait donné une vitesse inférieure à \(0,6\;\text{m/s}\), plusieurs solutions pourraient être envisagées pour améliorer l’auto‐curage :
1. Augmenter la pente (\(I\)) de la canalisation :
Une pente plus forte augmente la force gravitaire entraînant l’écoulement, ce qui accroît la vitesse.
2. Réduire le diamètre de la canalisation :
Une canalisation de plus petit diamètre, pour un même débit, conduit à une aire de passage moindre et donc à une vitesse plus élevée.
3. Améliorer la qualité du revêtement (baisser \(n\)) :
L’utilisation de matériaux plus lisses (par exemple, des revêtements PVC ou béton poli) diminue les pertes de charge et augmente la vitesse.
4. Modifier le profil ou ajouter des dispositifs (comme des paliers de décharge) :
Parfois, des aménagements locaux (bassin de décharge, hélices, etc.) sont utilisés pour induire un écoulement plus vigoureux.
Note complémentaire sur le débit :
Si l’on utilisait le débit moyen prévu pour estimer la vitesse par la relation \( V = \frac{Q}{A} \), on aurait
\[ V = \frac{0,25}{0,05286} \approx 4,73\;\text{m/s}\,, \]
ce qui est bien supérieur à la valeur obtenue par Manning. Cette différence indique que, pour ces paramètres (diamètre, pente, rugosité), un débit de \(0,25\;\text{m}^3/\text{s}\) ne pourrait être transporté qu’en remplissant beaucoup plus la canalisation (voire en surcharge). Autrement dit, l’hypothèse de \(70\%\) de remplissage est ici adoptée pour vérifier l’auto‐curage et ne correspond pas nécessairement aux conditions de pleine utilisation du tuyau pour le débit prévu. En pratique, il faut veiller à ce que la conception du réseau permette à la fois une capacité suffisante et une vitesse d’écoulement adaptée pour l’auto‐curage.
Vérification des conditions d’auto-curage
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