Vérification de la limite d’élasticité
Comprendre la Vérification de la limite d’élasticité
Vous êtes ingénieur en structure au sein d’une entreprise de construction. On vous confie la tâche de concevoir une poutre en acier qui doit supporter un toit plat. La poutre sera soutenue à ses deux extrémités, ce qui constitue un appui simple. Le toit est soumis à diverses charges, y compris son propre poids, la neige, et une charge d’entretien. Il est crucial que la poutre reste dans sa zone élastique sous ces charges pour assurer la sécurité et la durabilité de la structure.
Pour comprendre le Calcul d’une poutre en acier, cliquez sur le lien.
Données:
- Matériau de la poutre: Acier, avec une limite d’élasticité de 250 MPa.
- Longueur de la poutre (L): 8 mètres.
- Charge uniformément répartie (w): Comprend le poids propre de la toiture, la neige, et la charge d’entretien, totalisant 5 kN/m.
- Section transversale de la poutre: Profil IPE 300. Les propriétés de la section sont:
- Moment d’inertie (I): 7900 cm\(^4\)
- Hauteur de la section (h): 300 mm.
- Largeur de la section (b): 150 mm.
- Épaisseur de l’âme (t): 7.1 mm.
- Module d’élasticité de l’acier (E): 210 GPa.
Questions:
1. Calcul de la réaction aux appuis
- Déterminer les réactions d’appui aux extrémités de la poutre.
2. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M_{max}\))
- Utiliser la théorie des poutres en RDM pour calculer le moment fléchissant maximal dans la poutre.
3. Calcul de la contrainte maximale (\(\sigma_{max}\)) dans la poutre
4. Vérification de la limite d’élasticité
- Vérifier si la contrainte maximale \(\sigma_{max}\) dépasse la limite d’élasticité de l’acier. Si c’est le cas, la poutre n’est pas adéquate. Sinon, la poutre est considérée comme sûre.
Correction : Vérification de la limite d’élasticité
1. Calcul de la réaction aux appuis
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, chaque réaction d’appui (R) est égale à la moitié de la charge totale.
Formule :
\[ R = \frac{w \times L}{2} \]
Données :
- \(w = 5 \, \text{kN/m}\)
- \(L = 8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ R = \frac{5 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m}}{2} \] \[ R = \frac{40 \, \text{kN}}{2} \] \[ R = 20 \, \text{kN} \]
2. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se produit au milieu de la poutre.
Formule :
\[ M_{\text{max}} = \frac{w \times L^2}{8} \]
Données :
- \(w = 5 \, \text{kN/m}\)
- \(L = 8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \, \text{kN/m} \times (8 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 64}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{320}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 40 \, \text{kN·m} \]
3. Calcul de la contrainte maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) dans la poutre
La contrainte maximale dans une poutre en flexion est donnée par la relation
\[ \sigma = \frac{M}{W} \]
où \( W \) est le module de section.
Pour une section rectangulaire ou en I, le module de section se calcule à partir du moment d’inertie et de la hauteur de la section.
Formule du module de section :
\[ W = \frac{I}{\frac{h}{2}} \]
Données :
- Moment d’inertie \( I = 7900 \, \text{cm}^4 \)
- Conversion : \( 1 \, \text{cm}^4 = 10^{-8} \, \text{m}^4 \) donc
\(I = 7900 \times 10^{-8} = 7,9 \times 10^{-4} \, \text{m}^4\) - Hauteur de la section \( h = 300 \, \text{mm} = 0,3 \, \text{m} \)
- Moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} = 40 \, \text{kN·m} = 40\,000 \, \text{N·m} \)
Calcul du module de section :
\[ W = \frac{7,9 \times 10^{-4} \, \text{m}^4}{0,3/2 \, \text{m}} \] \[ W = \frac{7,9 \times 10^{-4}}{0,15} \] \[ W \approx 5,27 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \]
Calcul de la contrainte maximale :
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{W} \] \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{40\,000 \, \text{N·m}}{5,27 \times 10^{-3} \, \text{m}^3} \] \[ \sigma_{\text{max}} \approx 7,59 \times 10^{6} \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{max}} \approx 7,6 \, \text{MPa} \]
4. Vérification de la limite d’élasticité
Données :
- Limite d’élasticité de l’acier : \(\sigma_{\text{lim}} = 250 \, \text{MPa}\)
- Contrainte maximale calculée : \(\sigma_{\text{max}} \approx 7,6 \, \text{MPa}\)
Vérification :
\[ 7,6 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa} \]
Conclusion :
La contrainte maximale est largement inférieure à la limite d’élasticité de l’acier. La poutre reste donc dans sa zone élastique et est considérée comme sûre pour supporter les charges prévues.
Vérification de la limite d’élasticité
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