Topographie Urbaine : Planification et Calculs
Comprendre la Topographie Urbaine : Planification et Calculs
Vous êtes un topographe travaillant sur un projet de construction d’un petit parc dans une zone urbaine.
Votre mission est de calculer les coordonnées des points clés du terrain, la surface totale du parc, et le volume de terre à excaver pour créer un petit étang artificiel.
Données Fournies :
- Coordonnées de départ (Point A) mètres.
- Directions et Distances :
- De A à B : 50 mètres, 30° Nord-Est.
- De B à C : 60 mètres, en ligne droite vers l’Est.
- De C à D : 40 mètres, 45° Sud-Est.
- De D à A : en ligne droite vers le point de départ.
- Zone pour l’étang :
- Forme : Rectangulaire.
- Dimensions : 10 mètres (longueur) x 5 mètres (largeur).
- Profondeur prévue : 2 mètres.
- Situé à 15 mètres vers l’Est du point A.
Tâches à Réaliser :
- Calcul des Coordonnées :
- Calculez les coordonnées des points B, C, et D en utilisant les données de direction et de distance.
- Calcul de la Surface :
- Déterminez la surface totale du parc en considérant qu’il forme un quadrilatère ABCD.
- Calcul du Volume :
- Calculez le volume de terre à excaver pour l’étang.
Correction : Topographie Urbaine : Planification et Calculs
1. Calcul des Coordonnées des Points B, C, et D
Point B:
Données :
- Point A : \((100, 200)\)
- Direction : 30° Nord-Est
- Distance : 50 mètres
Formules :
\[ X_B = X_A + d \times \cos(\theta) \]
\[ Y_B = Y_A + d \times \sin(\theta) \]
Calculs :
\[ X_B = 100 + 50 \times \cos(30^\circ) \] \[ X_B = 100 + 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ X_B \approx 143.30 \]
\[ Y_B = 200 + 50 \times \sin(30^\circ) \] \[ Y_B = 200 + 50 \times \frac{1}{2} \] \[ Y_B = 225 \]
Résultats :
Coordonnées de B : \((143.30, 225)\)
Point C:
Données :
- Point B : \((143.30, 225)\)
- Direction : Est
- Distance : 60 mètres
Formules :
\[ X_C = X_B + d \]
\[ Y_C = Y_B \]
Calculs :
\[ X_C = 143.30 + 60 \] \[ X_C = 203.30 \]
\[ Y_C = 225 \]
Résultats :
Coordonnées de C : \((203.30, 225)\)
Point D
Données :
- Point C : \((203.30, 225)\)
- Direction : 45° Sud-Est
- Distance : 40 mètres
Formules :
\[ X_D = X_C + d \times \cos(\theta) \]
\[ Y_D = Y_C – d \times \sin(\theta) \]
Calculs :
\[ X_D = 203.30 + 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ X_D \approx 231.58 \]
\[ Y_D = 225 – 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ Y_D \approx 196.72 \]
Résultats :
Coordonnées de D : \((231.58, 196.72)\)
2. Calcul de la Surface du Parc
Longueurs des Côtés :
Formules :
\[ L = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
Calculs et Résultats :
\[ BD = \sqrt{(231.58 – 143.30)^2 + (196.72 – 225)^2} \] \[ BD \approx 93.02 \]
\[ DA = \sqrt{(231.58 – 100)^2 + (196.72 – 200)^2} \] \[ DA \approx 132.04 \]
Surface des Triangles ABD et BCD :
Formules :
- Formule de Héron:
\[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
où \[ s = \frac{a+b+c}{2} \]
Calculs :
- Surface ABD:
\[ s = \frac{50 + 93.02 + 132.04}{2} \] \[ s = 137.53 \]
\[ A_{ABD} = \sqrt{137.53(137.53-50)(137.53-93.02)(137.53-132.04)} \] \[ A_{ABD} \approx 2335.68 \, m^2 \]
- Surface BCD:
\[ s = \frac{60 + 40 + 93.02}{2} \] \[ s = 96.51 \]
\[ A_{BCD} = \sqrt{96.51(96.51-60)(96.51-40)(96.51-93.02)} \] \[ A_{BCD} \approx 846.57 \, m^2 \]
Résultats :
- Surface totale du parc :
\[ = 2335.68 + 846.57 \] \[ = 3182.25 \, m^2 \]
3. Calcul du Volume d’Excavation pour l’Étang
Données :
- Longueur : 10 m
- Largeur : 5 m
- Profondeur : 2 m
Formules :
- Volume:
\[ = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Profondeur} \]
Calculs :
\[ = 10 \times 5 \times 2 \] \[ = 100 \, m^3 \]
Résultats :
Volume d’excavation pour l’étang : 100 m³
Topographie Urbaine : Planification et Calculs
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