Théorie de la plasticité

Comprendre la Théorie de la plasticité

Vous êtes ingénieur en génie civil et vous travaillez sur la conception d’une poutre en acier qui doit supporter une charge répartie. La poutre est en acier structural avec un comportement élastoplastique caractérisé par une limite d’élasticité et une résistance ultime. Vous devez analyser cette poutre pour déterminer si elle atteindra un état plastique sous une charge donnée et, si oui, quelle est la charge maximale qu’elle peut supporter avant de subir une déformation plastique permanente.

Pour comprendre la Vérification de la limite d’élasticité, cliquez sur le lien.

Données

Matériau de la poutre: Acier, avec une limite d’élasticité \(\sigma_Y = 250 \, \text{MPa}\) et une résistance ultime \(\sigma_U = 450 \, \text{MPa}\).
Dimensions de la poutre: Longueur \(L = 6 \, \text{m}\), section transversale rectangulaire avec largeur \(b = 50 \, \text{mm}\) et hauteur \(h = 150 \, \text{mm}\).
Charge: Charge uniformément répartie \(q\) sur toute la longueur de la poutre \( q = 10 \, \text{kN/m} \).

Questions:

1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal \((M\_max)\):

Déterminez le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la poutre sous l’effet de la charge répartie \(q\).

2. État de Contrainte:

Calculer la contrainte maximale \(\sigma_{\text{max}}\) dans la poutre sous l’effet de \(M_{\text{max}}\). Utiliser la formule \(\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\), où \(y\) est la distance maximale de l’axe neutre (ici \(\frac{h}{2}\)), et \(I\) est le moment d’inertie de la section (pour une section rectangulaire, \(I = \frac{b \cdot h^3}{12}\)).

3. Analyse de la Plasticité:

Vérifiez si la contrainte maximale atteint la limite d’élasticité. Si oui, déterminez si la poutre entre en phase plastique sous la charge \(q\). Calculez la charge répartie maximale \(q_{\text{max}}\) que la poutre peut supporter sans entrer dans le domaine plastique.

4. Discussion

Discutez des implications si la poutre entre en phase plastique et de l’importance de considérer la limite d’élasticité dans la conception des structures.

Correction : Théorie de la plasticité

1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\max}\))

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se trouve au centre de la portée et se calcule par :

Formule :

\[ M_{\max} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]

Données :

Charge répartie : \(q = 10\) kN/m
Longueur de la poutre : \(L = 6\) m

Calcul :

\[ M_{\max} = \frac{10 \; \text{kN/m} \times (6 \; \text{m})^2}{8} \] \[ M_{\max} = \frac{10 \times 36}{8} \] \[ M_{\max} = \frac{360}{8} \] \[ M_{\max} = 45 \; \text{kN·m} \]

2. État de Contrainte

La contrainte maximale due au moment fléchissant est donnée par la formule :

\[ \sigma_{\max} = \frac{M_{\max} \times y}{I} \]

où :

\(y\) est la distance maximale de l’axe neutre (pour une section rectangulaire, \(y = \frac{h}{2}\)),
\(I\) est le moment d’inertie de la section.

Pour une section rectangulaire, le moment d’inertie est :

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]

Données :

Largeur : \(b = 50\) mm \(= 0,05\) m,
Hauteur : \(h = 150\) mm \(= 0,15\) m,
\(y = \frac{h}{2} = \frac{0,15}{2} = 0,075\) m.

Calcul du moment d’inertie (\(I\)) :

\[ I = \frac{0,05 \times (0,15)^3}{12} \] \[ I = \frac{0,05 \times 0,003375}{12} \] \[ I \approx \frac{0,00016875}{12} \] \[ I \approx 1,40625 \times 10^{-5} \; \text{m}^4 \]

Calcul de la contrainte maximale (\(\sigma_{\max}\)) :

Convertissons \(M_{\max}\) en N·m :
\(45\) kN·m \(= 45\,000\) N·m.
Ensuite,

\[ \sigma_{\max} = \frac{45\,000 \; \text{N·m} \times 0,075 \; \text{m}}{1,40625 \times 10^{-5} \; \text{m}^4} \] \[ \sigma_{\max} \approx \frac{3\,375}{1,40625 \times 10^{-5}} \; \text{N/m}^2 \]

Ce qui donne :

\[ \sigma_{\max} \approx 240 \times 10^{6} \; \text{N/m}^2 = 240 \; \text{MPa} \]

3. Analyse de la Plasticité

Vérification de la limite d’élasticité :

La contrainte maximale calculée est \(\sigma_{\max} = 240\) MPa.
Comparée à la limite d’élasticité de l’acier (\(\sigma_Y = 250\) MPa), on constate que :

\[ 240 \; \text{MPa} < 250 \; \text{MPa} \]

La poutre reste donc dans le domaine élastique sous la charge \(q = 10\) kN/m.

Calcul de la charge répartie maximale (\(q_{\max}\)) sans entrer en phase plastique :

Pour trouver \(q_{\max}\), on impose que \(\sigma_{\max}\) atteigne exactement la limite d’élasticité \(\sigma_Y\) :

\[ \sigma_Y = \frac{M_{\max} \times y}{I} \quad \text{avec} \quad M_{\max} = \frac{q_{\max} L^2}{8} \]

En substituant :

\[ \sigma_Y = \frac{q_{\max} L^2 \times y}{8 \, I} \quad \Longrightarrow \quad q_{\max} = \frac{\sigma_Y \, 8 \, I}{L^2 \, y} \]

Substitution des données :

\(\sigma_Y = 250\) MPa \(= 250 \times 10^6\) N/m\(^2\),
\(I = 1,40625 \times 10^{-5}\) m\(^4\),
\(L = 6\) m,
\(y = 0,075\) m.

Calcul :

\[ q_{\max} = \frac{250 \times 10^6 \times 8 \times 1,40625 \times 10^{-5}}{(6)^2 \times 0,075} \] \[ q_{\max} = \frac{28\,125}{2,7} \] \[ q_{\max} \approx 10\,416,67 \; \text{N/m} \] \[ q_{\max} \approx 10,42 \; \text{kN/m} \]

4. Discussion

Implications de la phase plastique :

Si la charge dépassait \(q_{\text{max}}\) :
La contrainte maximale dépasserait la limite d’élasticité \((σ_Y = 250\, \text{MPa})\), ce qui entraînerait l’apparition d’une zone plastique. Dans ce cas, la poutre développerait un comportement non linéaire, avec la formation éventuelle d’un ou plusieurs charnières plastiques (plastic hinges). Cela affecte la capacité portante et la redistribution des moments internes, et pourrait mener à une défaillance progressive.
Importance dans la conception :
En génie civil, il est crucial de dimensionner les éléments structurels de façon à éviter l’entrée dans le domaine plastique pour les charges de service, afin d’assurer la sécurité et la durabilité de la structure. La vérification de la limite d’élasticité garantit que la structure se comporte de manière prévisible et permet d’identifier les marges de sécurité avant d’envisager des scénarios de déformation plastique contrôlée (utilisés, par exemple, dans le dimensionnement à plasticité résiduelle).
Conclusion pour cet exercice :
Pour la charge uniformément répartie de q = 10 kN/m, la contrainte maximale calculée (240 MPa) est inférieure à la limite d’élasticité de 250 MPa. La poutre reste ainsi dans le domaine élastique. Cependant, la charge maximale admissible avant l’apparition d’un comportement plastique est d’environ 10,42 kN/m, ce qui montre qu’un léger surcroît de charge pourrait conduire à la formation de zones plastiques. Cette analyse souligne l’importance de rester en dessous de la limite élastique dans la conception pour éviter des déformations permanentes.

Théorie de la plasticité

D’autres exercices de Rdm: