Théorème de Torricelli
Comprendre le Théorème de Torricelli
Un grand réservoir cylindrique d’eau est utilisé dans une installation industrielle pour refroidir les machines.
Le réservoir a une hauteur de 10 mètres et est constamment maintenu plein grâce à un système d’alimentation automatique.
Pour évacuer l’eau chaude, une petite ouverture a été pratiquée à la base du réservoir.
Données :
- Hauteur (h) du niveau de l’eau jusqu’à l’ouverture : 10 mètres
- Diamètre de l’ouverture (d) : 5 cm
- Coefficient de débit (C) : 0,62 (prend en compte les pertes d’énergie dues à la forme de l’ouverture et à la viscosité de l’eau)
- Accélération due à la gravité (g) : 9,81 m/s²
Instructions :
Calculer la vitesse (v) de sortie de l’eau par l’ouverture en utilisant le Théorème de Torricelli, puis déterminer le débit volumique (Q) de l’eau sortant du réservoir.
Correction : Théorème de Torricelli
1. Calculer la vitesse de sortie \(v\) :
D’après le Théorème de Torricelli, la vitesse de sortie de l’eau est donnée par :
\[
v = C \sqrt{2gh}
\]
où :
- \( C \) est le coefficient de débit, \(0,62\).
- \( g \) est l’accélération due à la gravité, \(9,81 \, \text{m/s}^2\).
- \( h \) est la hauteur de l’eau, \(10 \, \text{mètres}\).
En substituant ces valeurs, nous obtenons :
\[
v = 0,62 \times \sqrt{2 \times 9,81 \times 10} \] \[
v = 0,62 \times \sqrt{196,2} \] \[
v = 0,62 \times 14 \] \[
v \approx 8,68 \, \text{m/s}
\]
2. Calculer l’aire de l’ouverture \(A\) :
L’aire \( A \) d’un cercle est calculée par la formule \( \pi r^2 \), où \( r \) est le rayon du cercle.
Le diamètre de l’ouverture est de 5 cm, donc le rayon est de 2,5 cm ou \(0,025 \, \text{mètres}\) (car \(1 \, \text{cm} = 0,01 \, \text{m}\)). Ainsi :
\[
A = \pi \times (0,025)^2 \] \[
A = \pi \times 0,000625 \] \[
A \approx 0,0019635 \, \text{m}^2
\]
3. Calculer le débit volumique \(Q\) :
Le débit volumique est donné par :
\[
Q = A \times v
\]
En substituant les valeurs calculées :
\[ Q = 0,0019635 \times 8,68 \] \[
Q \approx 0,01704 \, \text{m}^3/\text{s}
\]
Réponse :
La vitesse de sortie de l’eau est d’environ \(8,68 \, \text{m/s}\).
Le débit volumique de l’eau sortant du réservoir est d’environ \(0,01704 \, \text{m}^3/\text{s}\), ce qui équivaut à environ \(17,04 \, \text{litres par seconde}\), car \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{litres}\).
Théorème de Torricelli
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