Théorème de Torricelli
Comprendre le Théorème de Torricelli
Un grand réservoir cylindrique d’eau est utilisé dans une installation industrielle pour refroidir les machines. Le réservoir a une hauteur de 10 mètres et est constamment maintenu plein grâce à un système d’alimentation automatique. Pour évacuer l’eau chaude, une petite ouverture a été pratiquée à la base du réservoir.
Données :
- Hauteur (h) du niveau de l’eau jusqu’à l’ouverture : 10 mètres
- Diamètre de l’ouverture (d) : 5 cm
- Coefficient de débit (C) : 0,62 (prend en compte les pertes d’énergie dues à la forme de l’ouverture et à la viscosité de l’eau)
- Accélération due à la gravité (g) : 9,81 m/s²
Question :
Calculer la vitesse (v) de sortie de l’eau par l’ouverture en utilisant le Théorème de Torricelli, puis déterminer le débit volumique (Q) de l’eau sortant du réservoir.
Correction : Théorème de Torricelli
1. Calcul de la vitesse de sortie \( v \)
Le théorème de Torricelli nous donne la vitesse de sortie d’un liquide par un orifice sous l’effet de la gravité, selon la formule idéale :
\[ v_{\text{théorique}} = \sqrt{2gh} \]
Cependant, pour tenir compte des pertes d’énergie (liées à la forme de l’ouverture et à la viscosité du liquide), on introduit un coefficient de débit \( C \) :
\[ v = C \times \sqrt{2gh} \]
Substitution des valeurs
- \( C = 0,62 \)
- \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)
- \( h = 10 \, \text{m} \)
On a donc :
\[ v = 0,62 \times \sqrt{2 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m}} \] \[ v \approx 0,62 \times 14,007 \] \[ v \approx 8,684 \, \text{m/s} \]
Résultat
La vitesse de sortie de l’eau est donc d’environ :
\[ v \approx 8,68 \, \text{m/s} \]
2. Calcul du débit volumique \( Q \)
Le débit volumique \( Q \) est le volume d’eau qui s’écoule par unité de temps. Il se calcule en multipliant la vitesse \( v \) par l’aire de la section de l’ouverture \( A \) :
\[ Q = A \times v \]
Pour une ouverture circulaire, l’aire \( A \) se calcule à partir du rayon \( r \) (qui est la moitié du diamètre) :
\[ A = \pi r^2 \]
Calcul de l’aire de l’ouverture
1. Détermination du rayon \( r \) :
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{0,05 \, \text{m}}{2} = 0,025 \, \text{m} \]
2. Calcul de \( A \) :
\[ A = \pi \times (0,025 \, \text{m})^2 = \pi \times 0,000625 \, \text{m}^2 \] \[ A \approx 3,1416 \times 0,000625 \, \text{m}^2 \] \[ A \approx 0,0019635 \, \text{m}^2 \]
Calcul du débit volumique
On connaît déjà la vitesse \( v \approx 8,684 \, \text{m/s} \) et l’aire \( A \approx 0,0019635 \, \text{m}^2 \). Le débit est donc :
\[ Q = A \times v \] \[ Q \approx 0,0019635 \, \text{m}^2 \times 8,684 \, \text{m/s} \] \[ Q \approx 0,01704 \, \text{m}^3/\text{s} \]
Résultat
Le débit volumique de l’eau sortant du réservoir est d’environ :
\[ Q \approx 0,01704 \, \text{m}^3/\text{s} \]
Conclusion
- Vitesse de sortie de l’eau : \( v \approx 8,68 \, \text{m/s} \)
- Débit volumique : \( Q \approx 0,01704 \, \text{m}^3/\text{s} \)
Théorème de Torricelli
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