Théorème de Torricelli

Théorème de Torricelli

Comprendre le Théorème de Torricelli

Un grand réservoir cylindrique d’eau est utilisé dans une installation industrielle pour refroidir les machines.

Le réservoir a une hauteur de 10 mètres et est constamment maintenu plein grâce à un système d’alimentation automatique.

Pour évacuer l’eau chaude, une petite ouverture a été pratiquée à la base du réservoir.

Données :

  1. Hauteur (h) du niveau de l’eau jusqu’à l’ouverture : 10 mètres
  2. Diamètre de l’ouverture (d) : 5 cm
  3. Coefficient de débit (C) : 0,62 (prend en compte les pertes d’énergie dues à la forme de l’ouverture et à la viscosité de l’eau)
  4. Accélération due à la gravité (g) : 9,81 m/s²

Instructions :

Calculer la vitesse (v) de sortie de l’eau par l’ouverture en utilisant le Théorème de Torricelli, puis déterminer le débit volumique (Q) de l’eau sortant du réservoir.

Correction : Théorème de Torricelli

1. Calculer la vitesse de sortie v :

D’après le Théorème de Torricelli, la vitesse de sortie de l’eau est donnée par :

    \[v = C \sqrt{2gh}\]

où :

  • C est le coefficient de débit, 0,62.
  • g est l’accélération due à la gravité, 9,81 \, \text{m/s}^2.
  • h est la hauteur de l’eau, 10 \, \text{mètres}.

En substituant ces valeurs, nous obtenons :

    \[v = 0,62 \times \sqrt{2 \times 9,81 \times 10} \]

    \[v = 0,62 \times \sqrt{196,2} \]

    \[v = 0,62 \times 14 \]

    \[v \approx 8,68 \, \text{m/s}\]

2. Calculer l’aire de l’ouverture A :

L’aire A d’un cercle est calculée par la formule \pi r^2, où r est le rayon du cercle.

Le diamètre de l’ouverture est de 5 cm, donc le rayon est de 2,5 cm ou 0,025 \, \text{mètres} (car 1 \, \text{cm} = 0,01 \, \text{m}). Ainsi :

    \[A = \pi \times (0,025)^2 \]

    \[A = \pi \times 0,000625 \]

    \[A \approx 0,0019635 \, \text{m}^2\]

3. Calculer le débit volumique Q :

Le débit volumique est donné par :

    \[Q = A \times v\]

En substituant les valeurs calculées :

    \[ Q = 0,0019635 \times 8,68 \]

    \[Q \approx 0,01704 \, \text{m}^3/\text{s}\]

Réponse :

La vitesse de sortie de l’eau est d’environ 8,68 \, \text{m/s}.
Le débit volumique de l’eau sortant du réservoir est d’environ 0,01704 \, \text{m}^3/\text{s}, ce qui équivaut à environ 17,04 \, \text{litres par seconde}, car 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{litres}.

Théorème de Torricelli

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