Questions:

1. Calcul de la Charge Ultime (RU)

• Utilisez la charge concentrée et le facteur de charge de service pour calculer la charge ultime que la poutre doit supporter.

2. Détermination du Moment Fléchissant Maximal (Mmax)

• Calculez le moment fléchissant maximal en utilisant la charge ultime et la portée de la poutre.

3. Conception de la Section de la Poutre

• Déterminez la hauteur nécessaire de la poutre pour résister au moment fléchissant maximal, en considérant la largeur de la poutre, la contrainte admissible du bois, et calculez ensuite la section de la poutre.

Correction : section d’une structure en bois

1. Calcul de la Charge Ultime (RU)

La charge ultime représente la charge de service majorée par un facteur de sécurité pour tenir compte des imprévus et garantir la sécurité de la structure. On l’obtient en multipliant la charge concentrée par le facteur de charge de service.

Formule :

\[ RU = \text{Charge concentrée} \times \text{Facteur de charge de service} \]

Données :

• Charge concentrée \( P = 5 \; \text{kN} \)
• Facteur de charge de service \( \gamma = 1,5 \)

Calcul :

\[ RU = 5 \; \text{kN} \times 1,5 \] \[ RU = 7,5 \; \text{kN} \]

2. Détermination du Moment Fléchissant Maximal (\( M_{\text{max}} \))

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée placée en son centre, le moment fléchissant maximal se trouve en milieu de portée. La formule correspondante est :

Formule :

\[ M_{\text{max}} = \frac{RU \times L}{4} \]

Données :

• Charge ultime \( RU = 7,5 \; \text{kN} \)
• Portée de la poutre \( L = 6 \; \text{m} \)

Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{7,5 \; \text{kN} \times 6 \; \text{m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{45 \; \text{kN}\cdot\text{m}}{4} \] \[ M_{\text{max}} = 11,25 \; \text{kN}\cdot\text{m} \]

Pour une utilisation ultérieure dans le calcul de la section, il est souvent préférable de convertir en N·mm (1 kN·m = 1 000 000 N·mm) :

\[ M_{\text{max}} = 11,25 \; \text{kN}\cdot\text{m} = 11,25 \times 10^6 \; \text{N}\cdot\text{mm} \] \[ = 11\,250\,000 \; \text{N}\cdot\text{mm} \]

3. Conception de la Section de la Poutre

Pour concevoir la section de la poutre, il faut vérifier que la section choisie résiste au moment fléchissant maximal en ne dépassant pas la contrainte admissible du bois. La résistance en flexion est évaluée à l’aide du module de section \( S \) qui est relié au moment fléchissant par la relation :

Formule :

\[ S = \frac{M_{\text{max}}}{f} \]

Pour une section rectangulaire, le module de section est :

\[ S = \frac{b \times h^2}{6} \]

où :

• \( b \) est la largeur de la poutre
• \( h \) est la hauteur de la poutre

Données :

• Moment fléchissant maximal \( M_{\text{max}} = 11\,250\,000 \; \text{N}\cdot\text{mm} \)
• Contrainte admissible du bois \( f = 24 \; \text{N/mm}^2 \)
• Largeur de la poutre \( b = 120 \; \text{mm} \)

Étape 1 : Calcul du module de section requis

\[ S_{\text{req}} = \frac{M_{\text{max}}}{f} \] \[ S_{\text{req}} = \frac{11\,250\,000 \; \text{N}\cdot\text{mm}}{24 \; \text{N/mm}^2} \] \[ S_{\text{req}} = 468\,750 \; \text{mm}^3 \]

Étape 2 : Dimensionnement de la hauteur \( h \)

Pour une section rectangulaire :

\[ S = \frac{b \times h^2}{6} \quad \Rightarrow \quad h^2 = \frac{6 \times S}{b} \]

Substituons \( S_{\text{req}} \) et \( b \) :

\[ h^2 = \frac{6 \times 468\,750 \; \text{mm}^3}{120 \; \text{mm}} \] \[ h^2 = \frac{2\,812\,500 \; \text{mm}^3}{120 \; \text{mm}} \] \[ h^2 = 23\,437,5 \; \text{mm}^2 \] \[ h = \sqrt{23\,437,5 \; \text{mm}^2} \] \[ h \approx 153,11 \; \text{mm} \]

Conclusion :
La hauteur minimale de la poutre nécessaire pour résister au moment fléchissant maximal est d’environ 153,11 mm. Pour des raisons pratiques et de sécurité, on arrondira souvent cette valeur à une dimension standard supérieure (par exemple 160 mm), mais la valeur calculée est 153,11 mm.

Section d’une structure en bois

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