Propriétés Mécaniques des Matériaux
Contexte sur les propriétés mécaniques des matériaux
Vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une poutre pour un petit pont. La poutre est faite d’un acier standard, et elle doit supporter une charge uniformément répartie, incluant le poids du pont et une charge supplémentaire due au trafic.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier, cliquez sur le lien.
Données :
- Matériau de la poutre : Acier
- Module de Young de l’acier : 210 GPa
- Limite élastique de l’acier : 250 MPa
- Longueur de la poutre : 10 m
- Largeur de la poutre : 0.3 m
- Hauteur de la poutre : 0.6 m
- Charge uniformément répartie (y compris le poids du pont) : 30 kN/m
Questions :
1. Calculez le moment d’inertie de la section de la poutre.
2. Déterminez la charge maximale supplémentaire que la poutre peut supporter sans dépasser la limite élastique de l’acier.
3. Calculez la flèche maximale de la poutre sous cette charge supplémentaire, en supposant un comportement élastique linéaire.
Correction : propriétés mécaniques des matériaux
1. Calcul du Moment d’Inertie de la Section de la Poutre
Le moment d’inertie \( I \) est crucial pour l’analyse de la résistance en flexion d’une poutre. Pour une section rectangulaire, le moment d’inertie par rapport à l’axe horizontal qui passe par le centre de la section est donné par :
Formule:
\[ I = \frac{1}{12} b h^3 \]
Données:
- Largeur de la poutre \( b = 0.3 \, m \)
- Hauteur de la poutre \( h = 0.6 \, m \)
Calcul:
\[ I = \frac{1}{12} \times 0.3 \, m \times (0.6 \, m)^3 \] \[ I = \frac{1}{12} \times 0.3 \times 0.216 \] \[ I = 0.0054 \, m^4 \]
Le moment d’inertie de la section de la poutre est donc \(0.0054 \, m^4\).
2. Charge Maximale Supplémentaire Supportable
La charge maximale supplémentaire que la poutre peut supporter sans dépasser la limite élastique de l’acier est calculée en s’assurant que la contrainte de flexion maximale ne dépasse pas cette limite.
Formule de la contrainte de flexion:
\[ \sigma = \frac{M \times y}{I} \]
Où \( y = \frac{h}{2} \) est la distance de l’axe neutre à la fibre la plus éloignée (en tension ou en compression).
Formule pour déterminer \( M \) (moment de flexion) en fonction de la charge répartie \( q \):
\[ M = \frac{q \times L^2}{8} \]
Calcul de \( M \) pour la limite élastique:
\[ M = \frac{\sigma_{\text{max}} \times I}{y} \]
Données:
- Limite élastique \( \sigma_{\text{max}} = 250 \, MPa = 250 \times 10^6 \, Pa \)
- Longueur de la poutre \( L = 10 \, m \)
- Charge existante \( q_{\text{existante}} = 30 \, kN/m = 30 \times 10^3 \, N/m \)
Calcul du \( M \) maximal sans dépasser \(\sigma_{\text{max}}\):
\[ M = \frac{250 \times 10^6 \times 0.0054}{0.3} \] \[ M = 4.5 \times 10^6 \, N \cdot m \]
Détermination de \( q_{\text{add}} \):
\[ q_{\text{add}} = \frac{8 \times M}{L^2} \] \[ q_{\text{add}} = \frac{8 \times 4.5 \times 10^6}{100} \] \[ q_{\text{add}} = 360 \, kN/m \]
La charge totale admissible est \(360 \, kN/m\), mais la charge existante est déjà de \(30 \, kN/m\), donc:
\[ q_{\text{add}} = 360 \, kN/m – 30 \, kN/m \] \[ q_{\text{add}} = 330 \, kN/m \]
3. Calcul de la Flèche Maximale de la Poutre
La flèche maximale sous la charge donne une indication de la déformation de la poutre sous charge.
Formule:
\[ \delta = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I} \]
Données:
- Charge totale \( q = q_{\text{existante}} + q_{\text{add}} = 360 \, kN/m \)
- Module de Young \( E = 210 \, GPa = 210 \times 10^9 \, Pa \)
Calcul:
\[ \delta = \frac{5 \times 360 \times 10^3 \times 10^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 0.0054} \] \[ \delta \approx 34.36 \, mm \]
La flèche maximale de la poutre sous la charge totale est donc environ \(34.36 \, mm\).
Propriétés mécaniques des matériaux
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