Poutre en Acier Traitée Thermiquement
Comprendre la Poutre en Acier Traitée Thermiquement
Un ingénieur structure doit concevoir un élément en acier pour une passerelle piétonne. L’acier choisi a subi un traitement thermique pour améliorer ses propriétés mécaniques. L’ingénieur doit calculer la capacité portante de cet élément après traitement thermique en se basant sur les nouvelles propriétés matérielles.
Pour comprendre l’Analyse d’une Poutre en Acier, cliquez sur le lien.
Données :
- Type d’acier : S355
- Traitement thermique appliqué : Trempe et Revenu
- Propriétés de l’acier avant traitement :
- Limite d’élasticité : 355 MPa
- Module d’élasticité : 210 GPa
- Propriétés de l’acier après traitement :
- Augmentation de la limite d’élasticité de 20%
- Réduction du module d’élasticité de 5%
- Dimensions de l’élément structurel :
- Section transversale : Rectangulaire, 300 mm x 50 mm
- Longueur : 6 m
- Charge appliquée :
- Charge permanente (G) : 30 kN/m
- Charge variable (Q) : 50 kN/m
Questions :
1. Calculer la nouvelle limite d’élasticité et le nouveau module d’élasticité de l’acier après traitement thermique.
2. Déterminer la capacité portante de l’élément en acier en utilisant l’Eurocode 3 pour les structures en acier.
3. Vérifier si l’élément peut supporter les charges appliquées en considérant les combinaisons de charges selon l’Eurocode.
Correction : Poutre en Acier Traitée Thermiquement
1. Calcul des nouvelles propriétés mécaniques de l’acier
1.1. Nouvelle limite d’élasticité
L’acier de type S355 présente initialement une limite d’élasticité \(f_y\) de 355 MPa. Le traitement thermique (Trempe et Revenu) augmente cette limite de 20%. Pour obtenir la nouvelle limite d’élasticité, on multiplie la valeur initiale par 1,20.
Formule :
\[ f’_y = f_y \times \left(1 + \frac{20}{100}\right) \]
Données :
- \(f_y = 355 \, \text{MPa}\)
- Augmentation : 20%
Calcul :
\[ f’_y = 355 \times 1,20 \] \[ f’_y = 426 \, \text{MPa} \]
1.2. Nouveau module d’élasticité
Le module d’élasticité initial est de 210 GPa. Le traitement thermique réduit ce module de 5%. Pour obtenir le nouveau module, on multiplie la valeur initiale par 0,95.
Formule :
\[ E’ = E \times \left(1 – \frac{5}{100}\right) \]
Données :
- \(E = 210 \, \text{GPa}\)
- Réduction : 5%
Calcul :
\[ E’ = 210 \times 0,95 \] \[ E’ = 199,5 \, \text{GPa} \]
2. Calcul de la capacité portante en flexion de l’élément
Pour le dimensionnement en flexion, nous allons déterminer le moment plastique résistant (\(M_{Rd}\)) de la section.
2.1. Calcul du module plastique de la section (\(W_{pl}\))
Pour une section rectangulaire, le module plastique est calculé par :
\[ W_{pl} = \frac{b \times h^2}{4} \]
où \( b \) est la largeur et \( h \) la hauteur (la dimension dans la direction de la flexion).
Données :
- \(b = 50 \, \text{mm}\)
- \(h = 300 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ W_{pl} = \frac{50 \times (300)^2}{4} \] \[ W_{pl} = \frac{50 \times 90000}{4} \] \[ W_{pl} = \frac{4500000}{4} \] \[ W_{pl} = 1\,125\,000 \, \text{mm}^3 \]
2.2. Calcul du moment plastique résistant (\(M_{Rd}\))
Le moment plastique résistant est obtenu en multipliant le module plastique par la nouvelle limite d’élasticité \( f’_y \). On obtient ainsi la capacité portante de la section en flexion.
Formule :
\[ M_{Rd} = W_{pl} \times f’_y \]
Données :
- \(W_{pl} = 1\,125\,000 \, \text{mm}^3\)
- \(f’_y = 426 \, \text{N/mm}^2\) (1 MPa = 1 N/mm\(^2\))
Calcul :
\[ M_{Rd} = 1\,125\,000 \times 426 \] \[ M_{Rd} = 479\,250\,000 \, \text{N·mm} \]
Conversion en kN·m :
\[ 479\,250\,000 \, \text{N·mm} = 479,25 \, \text{kN·m} \] \(\text{(puisque } 1 \, \text{kN·m} = 10^6 \, \text{N·mm)}\)
3. Vérification de la capacité portante par rapport aux charges appliquées
3.1. Calcul de la charge uniformément répartie (combinaison des charges)
Les charges appliquées sont composées d’une charge permanente (G) et d’une charge variable (Q). Selon l’Eurocode, la combinaison de charges en dernier état limite (ULS) peut être exprimée par :
\[ q = 1,35\,G + 1,5\,Q \]
Données :
- \(G = 30 \, \text{kN/m}\)
- \(Q = 50 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[ q = 1,35 \times 30 + 1,5 \times 50 \] \[ q = 40,5 + 75 \] \[ q = 115,5 \, \text{kN/m} \]
3.2. Calcul du moment maximal dû aux charges
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment maximal se situe au milieu de la portée et se calcule par :
\[ M_{max} = \frac{q \times L^2}{8} \]
Données :
- \(q = 115,5 \, \text{kN/m}\)
- \(L = 6 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ M_{max} = \frac{115,5 \times 6^2}{8} \] \[ M_{max} = \frac{115,5 \times 36}{8} \] \[ M_{max} = \frac{4158}{8} \] \[ M_{max} = 519,75 \, \text{kN·m} \]
4. Conclusion de la vérification
Comparaison :
- Capacité portante en flexion de l’élément : \(M_{Rd} = 479,25 \, \text{kN·m}\)
- Moment maximal induit par les charges : \(M_{max} = 519,75 \, \text{kN·m}\)
Interprétation :
La capacité portante \(M_{Rd}\) est inférieure au moment maximal \(M_{max}\) généré par la combinaison des charges.
Cela signifie que, selon l’Eurocode 3, l’élément en acier traité thermiquement ne peut pas supporter les charges appliquées en flexion dans les conditions données.
Poutre en Acier Traitée Thermiquement
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