Poussée d’archimède dans l’eau

Poussée d’archimède dans l’eau

Comprendre la Poussée d’archimède dans l’eau

Un ingénieur en génie civil doit concevoir un pont flottant pour une rivière. Pour cela, il envisage d’utiliser des cylindres en béton comme flotteurs.

Cependant, il doit d’abord s’assurer que ces cylindres pourront supporter le poids du pont tout en restant stables sur l’eau.

Données

  • Densité de l’eau de la rivière : 1000 \, \text{kg/m}^3
  • Densité du béton : 2400 \, \text{kg/m}^3
  • Rayon d’un cylindre en béton : 1 \, \text{m}
  • Hauteur d’un cylindre en béton : 2 \, \text{m}
  • Poids total supporté par chaque cylindre (incluant une partie du poids du pont) : 15000 \, \text{N}

Instructions:

1. Calculer le volume du cylindre en béton.

2. Déterminer le poids du cylindre en béton.

3. Calculer la force de poussée d’Archimède agissant sur le cylindre lorsqu’il est entièrement immergé.

4. Déterminer si le cylindre flottera ou coulera lorsque le poids total à supporter est appliqué.

5. Si le cylindre flotte, calculer la portion du cylindre qui reste hors de l’eau.

Correction : Poussée d’archimède dans l’eau

1. Calcul du volume du cylindre en béton :

    \[ = \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur} \]

    \[ = \pi \times 1^2 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m} \]

    \[ = 6.28 \, \text{m}^3.\]

2. Détermination du poids du cylindre en béton :

    \[ = \text{densité} \times \text{volume} \times g \]

= 2400 \, \text{kg/m}^3 \times 6.28 \, \text{m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2

    \[ = 147931.31 \, \text{N}.\]

3. Calcul de la force de poussée d’Archimède :

  • Poussée d’Archimède

= \text{densité de l'eau} \times \text{volume du cylindre} \times g

= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 6.28 \, \text{m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2

    \[ = 61638.05 \, \text{N}.\]

4. Détermination si le cylindre flottera ou coulera :

Le cylindre flotte car la poussée d’Archimède (61638.05 N) est supérieure au poids total à supporter (15000 N).

5. Si le cylindre flotte, calcul de la portion du cylindre qui reste hors de l’eau :

  • Portion du cylindre hors de l’eau

= \text{Hauteur totale} - \text{Hauteur immergée}

  • Hauteur immergée

    \[ = \frac{\text{Volume immergé}}{\pi \times \text{rayon}^2} \]

  • Volume immergé

= \text{Volume total} \times \left(\frac{\text{Poids total supporté}}{\text{Poussée d'Archimède}}\right)

    \[ = 6.28 \, \text{m}^3 \times \left(\frac{15000 \, \text{N}}{61638.05 \, \text{N}}\right) \]

Hauteur immergée calculée= 0.49 m

Ainsi, la portion du cylindre qui reste hors de l’eau

    \[ = 2 \, \text{m} - 0.49 \, \text{m} \]

    \[ \approx 1.51 \, \text{m}.\]

Le cylindre en béton flotte, et environ 1.51 mètres de sa hauteur restent hors de l’eau. Cela signifie que le cylindre est suffisamment stable pour supporter le poids du pont tout en restant flottant.

Poussée d’archimède dans l’eau

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