Module d’Élasticité et de Résistance sous Charge
Comprendre le calcul module d’Élasticité et de Résistance sous Charge
Vous êtes un ingénieur travaillant sur la conception d’une passerelle piétonne. Cette passerelle doit être construite en acier et être capable de supporter un certain nombre de piétons à la fois.
Votre tâche est de déterminer si le matériau choisi pour la passerelle est suffisamment élastique et résistant pour répondre aux exigences de sécurité.
Données :
- Matériau de la passerelle : Acier
- Module d’élasticité de l’acier (E) : 210 GPa (GigaPascals)
- Longueur de la passerelle (L) : 50 mètres
- Largeur de la passerelle (b) : 3 mètres
- Épaisseur de la passerelle (h) : 0,25 mètres
- Charge maximale attendue (P) : 5000 N (Newtons) par mètre carré
- Contrainte admissible de l’acier : 250 MPa (MegaPascals)
Pour comprendre le Calcul du Module de Young du Titane, cliquez sur le lien.
Questions :
1. Calculez la contrainte (σ) dans l’acier de la passerelle sous la charge maximale attendue.
2. En utilisant le module d’élasticité (E), calculez le taux de déformation (ε) de l’acier sous cette contrainte.
3. Évaluez si la contrainte calculée est inférieure à la contrainte admissible de l’acier. Si elle est inférieure, la passerelle est considérée comme sûre sous la charge maximale attendue.
4. Enfin, discutez de l’impact d’une augmentation de 10% de la charge maximale sur la sécurité de la passerelle, en recalculant la contrainte et en l’évaluant par rapport à la contrainte admissible.
Correction : module d’Élasticité et de Résistance sous Charge
1. Calcul de la Contrainte (\(\sigma\)) dans l’Acier
La contrainte dans le matériau est définie par la formule :
\[\sigma = \frac{F}{A},\]
où \(F\) est la force totale appliquée et \(A\) est la surface de la section transversale sur laquelle cette force agit.
- Charge maximale appliquée par mètre carré (\(P\)) : \(5000 \, \text{N/m}^2\)
- Surface de la passerelle (\(A_{\text{totale}}\)) :
\[ A_{\text{totale}} = L \times b \] \[ A_{\text{totale}} = 50 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} \] \[ A_{\text{totale}} = 150 \, \text{m}^2 \]
- Force totale appliquée (\(F\)) :
\[ F = P \times A_{\text{totale}} \] \[ F = 5000 \, \text{N/m}^2 \times 150 \, \text{m}^2 \] \[ F = 750000 \, \text{N} \]
- Section transversale de la passerelle (\(A\)) :
\[ A = b \times h \] \[ A = 3 \, \text{m} \times 0.25 \, \text{m} \] \[ A = 0.75 \, \text{m}^2 \]
Contrainte (\(\sigma\)) :
\[ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{750000 \, \text{N}}{0.75 \, \text{m}^2} \] \[ \sigma = 1000000 \, \text{N/m}^2 = 1 \, \text{MPa} \]
2. Calcul du Taux de Déformation (\(\epsilon\)) de l’Acier
Le taux de déformation est calculé avec la relation :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E},\]
où \(E\) est le module d’élasticité de l’acier.
- Module d’élasticité de l’acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{MPa}\)
Taux de déformation (\(\epsilon\)) :
\[ \epsilon = \frac{1 \, \text{MPa}}{210000 \, \text{MPa}} \] \[ \epsilon = 4.76 \times 10^{-6} \]
3. Évaluation de la Sécurité
La contrainte calculée (\(\sigma = 1 \, \text{MPa}\)) est bien inférieure à la contrainte admissible de l’acier (\(250 \, \text{MPa}\)).
Cela signifie que la passerelle est sûre sous la charge maximale attendue.
4. Impact d’une Augmentation de 10% de la Charge Maximale
- Nouvelle charge maximale par mètre carré (\(P’\)) :
\[ P’ = 5000 \, \text{N/m}^2 \times 1.10 \] \[ P’ = 5500 \, \text{N/m}^2 \]
- Nouvelle force totale appliquée (\(F’\)) :
\[ F’ = 5500 \, \text{N/m}^2 \times 150 \, \text{m}^2 \] \[ F’ = 825000 \, \text{N} \]
- Nouvelle contrainte (\(\sigma’\)) :
\[ \sigma’ = \frac{825000 \, \text{N}}{0.75 \, \text{m}^2} \] \[ \sigma’ = 1100000 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma’ = 1.1 \, \text{MPa} \]
Même avec une augmentation de 10% de la charge, la nouvelle contrainte (\(1.1 \, \text{MPa}\)) reste bien inférieure à la contrainte admissible (\(250 \, \text{MPa}\)). Cela confirme que la passerelle reste sûre.
Calcul module d’Élasticité et de Résistance sous Charge
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